電磁気

コンデンサーのエネルギーで V を2乗し忘れる

問題

静電容量 C のコンデンサーに電圧 V をかけて充電した。たくわえられたエネルギー U を求めよ。

ありがちな答え

U = \frac{1}{2} CV

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのはエネルギー・仕事・熱量 $U$ 。単位は $J$ （＝ $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}$ ）。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

C V

]

= F \cdot V = A \cdot s

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

電気量 q = CV と混ざった。CV の単位は C（クーロン）で、エネルギーではない。

U = \frac{1}{2} {CV}^{2}

[

C V^{2}

]

= F \cdot V^{2} = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}

　○ 一致

単位が $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

τ = \frac{R}{C}

τ = RC

C = \frac{ε_{0} d}{S}

C = \frac{ε_{0} S}{d}

\frac{1}{2}

F = QE

F = \frac{1}{2} QE

コンデンサーの検算のコツ

$C = \frac{Q}{V}$ 、エネルギーは $\frac{1}{2} {CV}^{2}$ （J）。CV は電荷（C）なのでエネルギーではありません。ε₀ の単位は $\frac{F}{m}$ なので、容量 F を作るには長さを1つかける必要があります。時定数 RC は秒になります。