代入で検算する：0・∞・90° を入れて答えを確かめる

単位の検算は、式の「形」が合っているかを確かめます。でも、 $\frac{1}{2}$ の付け忘れや sin と cos の取り違え、符号のミスは見つけられません。そこで使うのが、答えに特別な値を代入する検算です。極端な場合なら、計算しなくても答えがわかるからです。

代入検算の手順

答えがすぐにわかる極端な場合を探す
質量を 0 や ∞ に、角度を 0° や 90° に、2つの量を等しく。
その値を答えの式に代入する
0 や ∞ を入れたときの式の行き先を調べます。
物理的な結果と比べる
1つでも合わなければ、その答えは間違いです。

例：粗い斜面の加速度

問題

傾きの角 θ の粗い斜面を、物体がすべり下りている。動摩擦係数を μ′、重力加速度の大きさを g として、斜面に沿って下向きの加速度 a を求めよ。

ありがちな答え

a = g (\cos θ - μ′ \sin θ)

単位は $\frac{m}{s^{2}}$ で合っています。でも θ = 0（水平な面）を代入すると a = g。水平な床に置いた物体が、勝手に g で加速することになってしまいます。正しくは $a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)$ 。θ = 0 なら −μ′g（摩擦でブレーキ）、θ = 90° なら g（自由落下）、μ′ = 0 なら g sin θ と、どれも納得できる結果になります。

よく使う代入のパターン

代入	何がわかるか
質量・長さを 0 にする	「相手がいない」「片方だけ」の状況になり、自由落下や静止など、答えのわかる問題に戻ります。
質量・抵抗などを ∞ にする	動かない壁、断線、とても重い物体。答えは 0 や、知っている値に近づくはずです。
2つの量を等しくする	m₁ = m₂、R₁ = R₂ など。つり合って 0 になる、ちょうど半分になる、などがすぐわかります。
角度を 0° と 90° にする	水平な面、垂直な壁、真上に投げる。sin と cos の取り違えはここで見つかります。
時間を 0 と ∞ にする	スイッチを入れた瞬間と、十分に時間がたったあと。はじめの状態と最後の状態に合っているか確かめます。
加えたものを「ない」ことにする	摩擦係数 μ = 0、比誘電率 εr = 1、内部抵抗 r = 0。付け加える前の、よく知っている式に戻るはずです。
量を大きくしたときの増減を考える	速く回せば張力は増えるはず、近づけば音は高くなるはず。符号の間違いが見つかります。

代入は2つ以上試すのが安全です。1つの代入では、たまたま正しい答えと同じ値になる誤答もあります（弾性衝突の例）。

単位の検算と組み合わせる

見つけられるミス	単位の検算	代入の検算
√ の付け忘れ、2乗の付け忘れ	○	△
分子と分母の取り違え	○	○
係数（ $\frac{1}{2}$ 、2 など）のミス	×	○（知っている答えと比べる）
sin と cos の取り違え	×	○（0° と 90°）
符号のミス	×	○（増えるか減るか）
直列と並列の取り違え	×	○（0 と ∞）