電磁気定番問題

内部抵抗のある電池で、外部抵抗が消費する電力を、単位と代入で検算する

問題

起電力 E、内部抵抗 r の電池に、抵抗値 R の抵抗をつなぐ。抵抗 R で消費される電力 P を求めよ。

答え

P = \frac{E^{2} R}{{(R + r)}^{2}}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは仕事率・電力 $P$ 。単位は $W$ （＝ $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{3}}$ ）。

使う量の単位：

足し算・引き算でまとめた部分（ $(R + r)$ ）は、中の項の単位がそろっているので、1つの量として扱えます。

[

\frac{E^{2} R}{{(R + r)}^{2}}

]

= \frac{V^{2} \cdot Ω}{Ω^{2}} = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{3}}

　○ 一致

単位は $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{3}}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1r = 0（理想的な電池）○ 合う

式に代入すると

P = \frac{E^{2}}{R}

物理的には内部抵抗がなければ、

P = \frac{V^{2}}{R}

そのものになるはず

2R = 0（導線でショート）○ 合う

式に代入すると

P = 0

物理的には抵抗のない導線では、電流が流れても熱は出ないはず

3R → ∞（何もつながない）○ 合う

式に代入すると

P

→

0

物理的には電流が流れないので、電力は 0 のはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

ありがちな答え

P = \frac{E^{2} r}{{(R + r)}^{2}}

[

\frac{E^{2} r}{{(R + r)}^{2}}

]

= \frac{V^{2} \cdot Ω}{Ω^{2}} = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{3}}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで r = 0（理想的な電池） を代入すると、

r = 0 を代入すると P = 0。理想的な電池につないだ抵抗が、まったく電力を消費しないことになります。これは内部抵抗 r で消費される電力の式です。

この問題の検算のコツ

R = 0 でも R → ∞ でも 0 になるので、その間のどこか（実は R = r）で電力が最大になる、ということも読み取れます。

R = \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

q = CE (1 - e^{- \frac{t}{RC}})

C = \frac{(1 + εr) ε_{0} S}{2 d}