力学定番問題

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度を、単位と代入で検算する

問題

軽い定滑車に軽い糸をかけ、両端に質量 m₁、m₂ のおもりをつるして静かに放す。m₁ が下がる向きを正として、加速度 a を求めよ。重力加速度の大きさを g とする。

答え

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは加速度 $a$ 。単位は $\frac{m}{s^{2}}$ 。

使う量の単位：

$(m_{1} - m_{2})$ ：質量 [ $kg$ ]
$(m_{1} + m_{2})$ ：質量 [ $kg$ ]
$g$ ：加速度 [ $\frac{m}{s^{2}}$ ]

足し算・引き算でまとめた部分（ $(m_{1} - m_{2})$ 、 $(m_{1} + m_{2})$ ）は、中の項の単位がそろっているので、1つの量として扱えます。

[

\frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{kg} = \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は $\frac{m}{s^{2}}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1m₁ = m₂（同じ重さ）○ 合う

式に代入すると

a = 0

物理的にはつり合っているので、動かないはず

2m₂ = 0（片方だけ）○ 合う

式に代入すると

a = g

物理的にはm₁ だけが糸を引っぱらずに落ちるので、自由落下の g になるはず

3m₂ → ∞（反対側がとても重い）○ 合う

式に代入すると

a

→

- g

物理的には重いほうが自由落下に近づき、m₁ は g で引き上げられるはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1}}

[

\frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{kg} = \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで m₂ → ∞（反対側がとても重い） を代入すると、

m₂ → ∞ で a → −∞。どんなに重くしても、落ちる速さが g を超えて増え続けることはありません。2つのおもりを「まとめて」動かすので、分母は全体の質量 m₁ + m₂ です。

この問題の検算のコツ

2つの量の差が出てくる答えは、「2つが等しいとき 0 になるか」をまず確かめます。

ほかの定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

代入：μ′ = 0／θ = 90°／θ = 0

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = 0／m₂ = 0／m₁ → ∞

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ → ∞／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

2本のばねを直列につないだときのばね定数

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

代入：k₂ → ∞／k₁ = k₂

斜方投射の水平到達距離

x = \frac{{v_{0}}^{2} \sin 2 θ}{g}

代入：θ = 0／θ = 90°／θ = 45°

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