力学定番問題

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）を、単位と代入で検算する

問題

なめらかな水平面上で、速さ v₀ で進む質量 m₁ の小球が、静止している質量 m₂ の小球に正面から弾性衝突した。衝突後の m₂ の速さ V を求めよ。

答え

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは速度 $V$ 。単位は $\frac{m}{s}$ 。

使う量の単位：

$m_{1}$ ：質量 [ $kg$ ]
$v_{0}$ ：速度 [ $\frac{m}{s}$ ]
$(m_{1} + m_{2})$ ：質量 [ $kg$ ]

足し算・引き算でまとめた部分（ $(m_{1} + m_{2})$ ）は、中の項の単位がそろっているので、1つの量として扱えます。

[

\frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{m}{s}}{kg} = \frac{m}{s}

　○ 一致

単位は $\frac{m}{s}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1m₁ = m₂（同じ質量）○ 合う

式に代入すると

V = v_{0}

物理的には同じ質量の弾性衝突では速度が入れかわる（ビリヤードの玉）はず

2m₂ → ∞（重い壁にぶつかる）○ 合う

式に代入すると

V

→

0

物理的には壁は動かないはず

3m₁ → ∞（とても重い球がぶつかる）○ 合う

式に代入すると

V

→

2 v_{0}

物理的には重い球から見ると、軽い球は −v₀ で近づいてきて +v₀ ではね返る。地面から見ると 2v₀ になるはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

V = \frac{2 m_{2} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

[

\frac{m_{2} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{m}{s}}{kg} = \frac{m}{s}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで m₂ → ∞（重い壁にぶつかる） を代入すると、

m₂ → ∞ を代入すると V → 2v₀。壁が 2v₀ で飛んでいくことになります。なお、m₁ = m₂ ではこの誤答も V = v₀ になるので見抜けません。代入は1つだけでなく、2つ以上試すのが安全です。

この問題の検算のコツ

「同じ質量」「壁（無限に重い）」「無限に重い球」の3つは、衝突の問題で必ず使える代入です。

ほかの定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

代入：μ′ = 0／θ = 90°／θ = 0

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ = 0／m₂ → ∞

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = 0／m₂ = 0／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

2本のばねを直列につないだときのばね定数

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

代入：k₂ → ∞／k₁ = k₂

斜方投射の水平到達距離

x = \frac{{v_{0}}^{2} \sin 2 θ}{g}

代入：θ = 0／θ = 90°／θ = 45°

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　 → 速度の単位の意味