熱・気体定番問題

2つの物体を接触させたあとの温度（熱量の保存）を、単位と代入で検算する

問題

質量 m₁、比熱 c₁、温度 T₁ の物体と、質量 m₂、比熱 c₂、温度 T₂ の物体を接触させる。外に熱が逃げないとき、十分に時間がたったあとの温度 T を求めよ。

答え

T = \frac{m_{1} c_{1} T_{1} + m_{2} c_{2} T_{2}}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2}}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは温度（熱力学温度） $T$ 。単位は $K$ 。

使う量の単位：

$m_{1}$ ：質量 [ $kg$ ]
$c_{1}$ ：比熱（比熱容量） [ $\frac{J}{kg \cdot K}$ ]
$T_{1}$ ：温度（熱力学温度） [ $K$ ]
$m_{2}$ ：質量 [ $kg$ ]
$c_{2}$ ：比熱（比熱容量） [ $\frac{J}{kg \cdot K}$ ]
$T_{2}$ ：温度（熱力学温度） [ $K$ ]
$(m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2})$ ：熱容量 [ $\frac{J}{K}$ ]

足し算・引き算でまとめた部分（ $(m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2})$ ）は、中の項の単位がそろっているので、1つの量として扱えます。

[

\frac{m_{1} c_{1} T_{1}}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{J}{kg \cdot K} \cdot K}{\frac{J}{K}} = K

　○ 一致
[

\frac{m_{2} c_{2} T_{2}}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{J}{kg \cdot K} \cdot K}{\frac{J}{K}} = K

　○ 一致

単位は $K$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1m₂ = 0（相手がいない）○ 合う

式に代入すると

T = T_{1}

物理的には何も接触していないので、温度は変わらないはず

2T₁ = T₂（はじめから同じ温度）○ 合う

式に代入すると

T = T_{1}

物理的には熱は移動しないので、そのままの温度のはず

3m₁c₁ = m₂c₂（熱容量が同じ）○ 合う

式に代入すると

T = \frac{T_{1} + T_{2}}{2}

物理的には同じだけ温まりにくい2つなので、ちょうど真ん中の温度になるはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

T = \frac{m_{1} c_{1} T_{2} + m_{2} c_{2} T_{1}}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2}}

[

\frac{m_{1} c_{1} T_{2}}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{J}{kg \cdot K} \cdot K}{\frac{J}{K}} = K

　○ 一致
[

\frac{m_{2} c_{2} T_{1}}{m_{1} c_{1} + m_{2} c_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{J}{kg \cdot K} \cdot K}{\frac{J}{K}} = K

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで m₂ = 0（相手がいない） を代入すると、

m₂ = 0 を代入すると T = T₂。相手がいないのに、相手の温度になってしまいます。T₁ と T₂ の組み合わせが逆です。

この問題の検算のコツ

平均のような形の答えは、「片方だけにしたらその値になるか」「同じ値なら変わらないか」で確かめます。

ほかの定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

代入：μ′ = 0／θ = 90°／θ = 0

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ = 0／m₂ → ∞

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = 0／m₂ = 0／m₁ → ∞

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ → ∞／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

2本のばねを直列につないだときのばね定数

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

代入：k₂ → ∞／k₁ = k₂

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　 → 温度（熱力学温度）の単位の意味