電磁気単位では見抜けない例難関大レベル

極板間の引力で $\frac{1}{2}$ を落とす

問題

電荷 ±Q をたくわえた平行板コンデンサーの極板間の電場の強さが E である。片方の極板が受ける力の大きさ F を求めよ。

ありがちな答え

F = QE

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのは力 $F$ 。単位は $N$ （＝ $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ ）。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

Q E

]

= C \cdot \frac{V}{m} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}}

　○ 一致

手順3　比べる

単位は $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ で合っています。でも、この答えは間違いです。次元解析では見つけられない種類のミスです。

極板間の電場 E は両方の極板がつくったもの。片方の極板が受けるのは、もう片方の極板がつくる電場（E の半分）による力だけ。

F = \frac{1}{2} QE

[

Q E

]

= C \cdot \frac{V}{m} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}}

　○ 一致

どうやって見つけるか
係数の間違いは単位では見つかりません。「その電荷に力をおよぼしている電場は、どの電荷がつくったものか」を考えると防げます。自分自身がつくる電場から、自分は力を受けません。
単位の検算は、こうした確かめ方とあわせて使いましょう。

U = \frac{1}{2} CV

U = \frac{1}{2} {CV}^{2}

τ = \frac{R}{C}

τ = RC

C = \frac{ε_{0} d}{S}

C = \frac{ε_{0} S}{d}

コンデンサーの検算のコツ

$C = \frac{Q}{V}$ 、エネルギーは $\frac{1}{2} {CV}^{2}$ （J）。CV は電荷（C）なのでエネルギーではありません。ε₀ の単位は $\frac{F}{m}$ なので、容量 F を作るには長さを1つかける必要があります。時定数 RC は秒になります。