電磁気難関大の二次試験で出てくる

体積電荷密度の単位 $\frac{C}{m^{3}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{A \cdot s}{m^{3}}$

\frac{C}{m^{3}} = \frac{A \cdot s}{m^{3}}

次元 [L⁻³ T I]

検算のポイント

答えが体積電荷密度なら、右辺の単位は $\frac{C}{m^{3}}$ （＝ $\frac{A \cdot s}{m^{3}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

体積電荷密度を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{C}{m^{3}}$ になるのか

体積電荷密度とは？言葉で意味をつかむ

体積電荷密度とは　体積 1 m³ あたりの電荷。

言葉の式

体積電荷密度＝ふくまれる電荷 ÷ その部分の体積

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
ふくまれる電荷	電荷（電気量）	$C$
その部分の体積	体積	$m^{3}$

[体積電荷密度]

= C \div m^{3}

= \frac{C}{m^{3}}

= \frac{A \cdot s}{m^{3}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{C}{m^{3}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。電荷（電気量） → 体積 → 体積電荷密度の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

電荷（電気量） — 電荷と電流　

q = I t

電荷は「電流 × 流れた時間」。A に s をかけた A·s が C（クーロン）です。

[

q

]

= A \times s = A \cdot s = C

体積 — 体積と長さ　

V = l^{3}

体積は長さを3回かけるので m³ です。

[

V

]

= m^{3}

体積電荷密度 — 体積電荷密度の定義　

ρ = \frac{q}{V}

体積電荷密度は「体積あたりの電荷」。C を m³ で割って $\frac{C}{m^{3}}$ です。

[

ρ

]

= C \div m^{3} = \frac{C}{m^{3}} = \frac{A \cdot s}{m^{3}}

体積電荷密度が出てくる公式

体積電荷密度の定義： $ρ = \frac{q}{V}$
一様に帯電した球の内部の電場： $E = \frac{ρ r}{3 ε_{0}}$

まとめ

体積電荷密度とは、体積 1 m³ あたりの電荷。
言葉の式体積電荷密度＝ふくまれる電荷 ÷ その部分の体積を単位に置き換えると $\frac{C}{m^{3}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{A \cdot s}{m^{3}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1体積電荷密度は「ふくまれる電荷 ÷ その部分の体積」で求められます。「ふくまれる電荷」[ $C$ ]、「その部分の体積」[ $m^{3}$ ] のとき、体積電荷密度の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{C}{m^{3}}$

かける量（ふくまれる電荷）の単位が分子、割る量（その部分の体積）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{C}{m^{3}}$ 。

問2一様に帯電した球の内部の電場 $E = \frac{ρ r}{3 ε_{0}}$ を使います。E 「電場（電界）」[ $\frac{V}{m}$ ]、r 「長さ」[ $m$ ]、ε₀ 「誘電率」[ $\frac{F}{m}$ ] のとき、体積電荷密度 ρ の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{\frac{V}{m} \cdot \frac{F}{m}}{m}$

式を ρ について解くと $ρ = \frac{E ε_{0}}{r}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{\frac{V}{m} \cdot \frac{F}{m}}{m}$ ＝ $\frac{V \cdot F}{m^{3}}$ ＝ $\frac{C}{m^{3}}$ 。

問3体積電荷密度＝ふくまれる電荷 ÷ その部分の体積です。「体積電荷密度」[ $\frac{C}{m^{3}}$ ]、「その部分の体積」[ $m^{3}$ ] のとき、「ふくまれる電荷」の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{C}{m^{3}} \cdot m^{3}$

言葉の式を「ふくまれる電荷」について解き直すと「ふくまれる電荷＝体積電荷密度 × その部分の体積」。単位を入れると $\frac{C}{m^{3}} \cdot m^{3}$ ＝ $C$ 。

体積電荷密度の単位 Cm3 の意味｜基本単位で表すと A·sm3

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基本単位までたどる

体積電荷密度が出てくる公式

練習問題：分子と分母を見きわめる

体積電荷密度の単位 $\frac{C}{m^{3}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{A \cdot s}{m^{3}}$

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