電磁気

電圧で加速した粒子の速さで √ を忘れる

問題

静止していた質量 m、電荷 q の粒子を、電圧 V で加速した。粒子の速さ v を求めよ。

ありがちな答え

v = \frac{2 qV}{m}

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのは速度 $v$ 。単位は $\frac{m}{s}$ 。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

\frac{q V}{m}

]

= \frac{C \cdot V}{kg} = \frac{m^{2}}{s^{2}}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{m}{s}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

$qV = \frac{1}{2} {mv}^{2}$ から v² を出したところで止まった。

v = \sqrt{\frac{2 qV}{m}}

[

\sqrt{\frac{q V}{m}}

]

= \sqrt{\frac{C \cdot V}{kg}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{m}{s}

　○ 一致

単位が $\frac{m}{s}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

r = \frac{qB}{mv}

r = \frac{mv}{qB}

T = \frac{2 πqB}{m}

T = \frac{2 πm}{qB}

電場・磁場中の荷電粒子の検算のコツ

円運動の半径 $\frac{mv}{qB}$ は m、周期 $\frac{2 πm}{qB}$ は s、 $\frac{qB}{m}$ は $\frac{1}{s}$ （角振動数）です。電圧で加速した粒子のエネルギー qV は J なので、速さにするには √ が必要です。