電磁気難関大レベル

電場のエネルギー密度で E を2乗し忘れる

問題

真空中に強さ E の一様な電場がある。電場のエネルギー密度 u を求めよ。真空の誘電率を ε₀ とする。

ありがちな答え

u = \frac{1}{2} ε_{0} E

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのは電場のエネルギー密度 $u$ 。単位は $\frac{J}{m^{3}}$ （＝ $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ ）。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

ε_{0} E

]

= \frac{F}{m} \cdot \frac{V}{m} = \frac{A \cdot s}{m^{2}}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

コンデンサーのエネルギー $\frac{1}{2} {CV}^{2}$ から導くときに、2乗を落とした。ε₀E の単位は $\frac{C}{m^{2}}$ （電束密度と同じ）で、エネルギー密度ではない。

u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}

[

ε_{0} E^{2}

]

= \frac{F}{m} \cdot {(\frac{V}{m})}^{2} = \frac{kg}{m \cdot s^{2}}

　○ 一致

単位が $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

E = \frac{λ}{2 {πε}_{0} r^{2}}

E = \frac{λ}{2 {πε}_{0} r}

E = \frac{σ}{4 {πε}_{0} r^{2}}

E = \frac{σ}{2 ε_{0}}

V = \frac{kq}{r^{2}}

V = \frac{kq}{r}

電場・電位・ガウスの法則の検算のコツ

電場は $\frac{V}{m}$ 、電位は V で、r の次数が1つ違います。点電荷の電場は r²、直線電荷は r、平面電荷は r によらない。電荷が「長さあたり」「面積あたり」になるたびに、r の次数が1つずつ下がります。