電磁気高校物理・化学で出てくる

誘電率の単位 $\frac{F}{m}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}$

\frac{F}{m} = \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}

次元 [M⁻¹ L⁻³ T⁴ I²]

検算のポイント

答えが誘電率なら、右辺の単位は $\frac{F}{m}$ （＝ $\frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

誘電率を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{F}{m}$ になるのか

誘電率とは？言葉で意味をつかむ

誘電率とは　物質が電荷をどれだけためやすくするか。極板の面積 1 m²・間隔 1 m あたりの静電容量。

言葉の式

誘電率＝コンデンサーの静電容量 × 極板の間隔 ÷ 極板の面積

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
コンデンサーの静電容量	静電容量	$F$
極板の間隔	長さ	$m$
極板の面積	面積	$m^{2}$

[誘電率]

= F \times m \div m^{2}

= \frac{F}{m}

= \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{F}{m}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。電荷（電気量） → 速度 → 加速度 → 力 → エネルギー・仕事・熱量 → 電圧・電位 → 静電容量 → 面積 → 誘電率の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：電荷（電気量）・速度・加速度・力・エネルギー・仕事・熱量・面積の単位（知っていれば飛ばしてOK）

電荷（電気量） — 電荷と電流　

q = I t

電荷は「電流 × 流れた時間」。A に s をかけた A·s が C（クーロン）です。

[

q

]

= A \times s = A \cdot s = C

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

エネルギー・仕事・熱量 — 仕事の定義　

W = F x

仕事は「力 × 動かした距離」。N に m をかけた N·m に、J（ジュール）という名前がついています。

[

W

]

= N \times m = N \cdot m = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = J

面積 — 面積と長さ　

S = l^{2}

面積は長さ×長さなので m² です。

[

S

]

= m^{2}

電圧・電位 — 電圧と仕事　

W = q V

電圧は「1 C の電荷が2点の間を移動するときに得るエネルギー」。W = qV を V について解いて $\frac{J}{C}$ 。これが V（ボルト）です。

[

V

]

= J \div C = \frac{J}{C} = \frac{kg \cdot m^{2}}{A \cdot s^{3}} = V

静電容量 — コンデンサーの電気量　

q = C V

q = CV から $C = \frac{q}{V}$ 。「1 V あたりにためられる電荷」なので $\frac{C}{V}$ 、これが F（ファラド）です。

[

C

]

= C \div V = \frac{C}{V} = \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{2}} = F

誘電率 — 平行板コンデンサーの静電容量　

C = \frac{ε S}{d}

平行板コンデンサーの $C = \frac{εS}{d}$ から $ε = \frac{Cd}{S}$ 。F × m ÷ m² で $\frac{F}{m}$ になります。

[

ε

]

= F \times m \div m^{2} = \frac{F}{m} = \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}

よくある間違い：同じ単位でも別の量

次の量は誘電率と次元 [M⁻¹ L⁻³ T⁴ I²] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

単位長さあたりの静電容量（ $\frac{F}{m}$ ）— 長さ 1 m あたりの静電容量。

誘電率が出てくる公式

クーロン定数と真空の誘電率： $k = \frac{1}{4 π ε_{0}}$
平行板コンデンサーの静電容量： $C = \frac{ε S}{d}$
光速と真空の誘電率・透磁率： $c = \frac{1}{\sqrt{ε_{0} μ_{0}}}$
直線電荷のつくる電場： $E = \frac{λ}{2 π ε_{0} r}$
広い平面の電荷のつくる電場： $E = \frac{σ}{2 ε_{0}}$
一様に帯電した球の内部の電場： $E = \frac{ρ r}{3 ε_{0}}$
電場のエネルギー密度： $u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$
電束密度と電場： $D = ε E$

まとめ

誘電率とは、物質が電荷をどれだけためやすくするか。極板の面積 1 m²・間隔 1 m あたりの静電容量。
言葉の式誘電率＝コンデンサーの静電容量 × 極板の間隔 ÷ 極板の面積を単位に置き換えると $\frac{F}{m}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1誘電率は「コンデンサーの静電容量 × 極板の間隔 ÷ 極板の面積」で求められます。「コンデンサーの静電容量」[ $F$ ]、「極板の間隔」[ $m$ ]、「極板の面積」[ $m^{2}$ ] のとき、誘電率の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{F \cdot m}{m^{2}}$

かける量（コンデンサーの静電容量・極板の間隔）の単位が分子、割る量（極板の面積）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{F \cdot m}{m^{2}}$ ＝ $\frac{F}{m}$ 。

問2光速と真空の誘電率・透磁率 $c = \frac{1}{\sqrt{ε_{0} μ_{0}}}$ を使います。c 「速度」[ $\frac{m}{s}$ ]、μ₀ 「透磁率」[ $\frac{H}{m}$ ] のとき、誘電率 ε₀ の単位はどれ？

答えと解説

正解：B　 $\frac{1}{{(\frac{m}{s})}^{2} \cdot \frac{H}{m}}$

式を ε₀ について解くと $ε_{0} = \frac{1}{c^{2} μ_{0}}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{1}{{(\frac{m}{s})}^{2} \cdot \frac{H}{m}}$ ＝ $\frac{s^{2}}{m \cdot H}$ ＝ $\frac{F}{m}$ 。

問3誘電率＝コンデンサーの静電容量 × 極板の間隔 ÷ 極板の面積です。「誘電率」[ $\frac{F}{m}$ ]、「極板の間隔」[ $m$ ]、「極板の面積」[ $m^{2}$ ] のとき、「コンデンサーの静電容量」の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{\frac{F}{m} \cdot m^{2}}{m}$

言葉の式を「コンデンサーの静電容量」について解き直すと「コンデンサーの静電容量＝誘電率 × 極板の面積 ÷ 極板の間隔」。単位を入れると $\frac{\frac{F}{m} \cdot m^{2}}{m}$ ＝ $F$ 。

次に読む：誘電率を使って表される量

電束密度

\frac{C}{m^{2}}

誘電率の単位 Fm の意味｜基本単位で表すと A2·s4kg·m3

誘電率とは？ 言葉で意味をつかむ

基本単位までたどる

よくある間違い：同じ単位でも別の量

誘電率が出てくる公式

練習問題：分子と分母を見きわめる

次に読む：誘電率を使って表される量

誘電率の単位 $\frac{F}{m}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}$

誘電率とは？言葉で意味をつかむ