電磁気高校物理・化学で出てくる

クーロンの法則の比例定数の単位 $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg \cdot m^{3}}{A^{2} \cdot s^{4}}$

\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} = \frac{kg \cdot m^{3}}{A^{2} \cdot s^{4}}

次元 [M L³ T⁻⁴ I⁻²]

検算のポイント

答えがクーロンの法則の比例定数なら、右辺の単位は $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ （＝ $\frac{kg \cdot m^{3}}{A^{2} \cdot s^{4}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

クーロンの法則の比例定数を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ になるのか

クーロンの法則の比例定数とは？言葉で意味をつかむ

クーロンの法則の比例定数とは　2つの電荷が及ぼし合う力の強さを決める定数。

言葉の式

クーロンの法則の比例定数＝及ぼし合う力 × （電荷の間の距離）² ÷ 片方の電荷 ÷ もう片方の電荷

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
及ぼし合う力	力	$N$
電荷の間の距離	長さ	$m$
片方の電荷	電荷（電気量）	$C$
もう片方の電荷	電荷（電気量）	$C$

[クーロンの法則の比例定数]

= N \times m^{2} \div C \div C

= \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}

= \frac{kg \cdot m^{3}}{A^{2} \cdot s^{4}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ が出てきました。

よくある誤解：クーロンの法則の比例定数に単位はない？
「定数」という名前ですが、単位があります。単位を忘れると、クーロンの法則

F = \frac{{kq}_{1} q_{2}}{r^{2}}

の右辺が力の単位 N になりません。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → 電荷（電気量） → クーロンの法則の比例定数の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力・電荷（電気量）の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

電荷（電気量） — 電荷と電流　

q = I t

電荷は「電流 × 流れた時間」。A に s をかけた A·s が C（クーロン）です。

[

q

]

= A \times s = A \cdot s = C

クーロンの法則の比例定数 — クーロンの法則　

F = \frac{k q_{1} q_{2}}{r^{2}}

クーロンの法則 $F = \frac{{kq}_{1} q_{2}}{r^{2}}$ を k について解くと $k = \frac{{Fr}^{2}}{q_{1} q_{2}}$ 。N × m² ÷ C² で $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ です。

[

k

]

= N \times m^{2} \div C \div C = \frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} = \frac{kg \cdot m^{3}}{A^{2} \cdot s^{4}}

クーロンの法則の比例定数が出てくる公式

クーロンの法則： $F = \frac{k q_{1} q_{2}}{r^{2}}$
クーロン定数と真空の誘電率： $k = \frac{1}{4 π ε_{0}}$

まとめ

クーロンの法則の比例定数とは、2つの電荷が及ぼし合う力の強さを決める定数。
言葉の式クーロンの法則の比例定数＝及ぼし合う力 × （電荷の間の距離）² ÷ 片方の電荷 ÷ もう片方の電荷を単位に置き換えると $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg \cdot m^{3}}{A^{2} \cdot s^{4}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1クーロンの法則の比例定数は「及ぼし合う力 × （電荷の間の距離）² ÷ 片方の電荷 ÷ もう片方の電荷」で求められます。「及ぼし合う力」[ $N$ ]、「電荷の間の距離」[ $m$ ]、「片方の電荷」[ $C$ ]、「もう片方の電荷」[ $C$ ] のとき、クーロンの法則の比例定数の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$

かける量（及ぼし合う力・電荷の間の距離）の単位が分子、割る量（片方の電荷・もう片方の電荷）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ 。

問2クーロンの法則の比例定数＝及ぼし合う力 × （電荷の間の距離）² ÷ 片方の電荷 ÷ もう片方の電荷です。「クーロンの法則の比例定数」[ $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ ]、「電荷の間の距離」[ $m$ ]、「片方の電荷」[ $C$ ]、「もう片方の電荷」[ $C$ ] のとき、「及ぼし合う力」の単位はどれ？

答えと解説

正解：B　 $\frac{\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} \cdot C^{2}}{m^{2}}$

言葉の式を「及ぼし合う力」について解き直すと「及ぼし合う力＝クーロンの法則の比例定数 × 片方の電荷 × もう片方の電荷 ÷ （電荷の間の距離）²」。単位を入れると $\frac{\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} \cdot C^{2}}{m^{2}}$ ＝ $N$ 。

問3クーロンの法則の比例定数＝及ぼし合う力 × （電荷の間の距離）² ÷ 片方の電荷 ÷ もう片方の電荷です。「クーロンの法則の比例定数」[ $\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}}$ ]、「及ぼし合う力」[ $N$ ]、「電荷の間の距離」[ $m$ ]、「もう片方の電荷」[ $C$ ] のとき、「片方の電荷」の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{N \cdot m^{2}}{\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} \cdot C}$

言葉の式を「片方の電荷」について解き直すと「片方の電荷＝及ぼし合う力 × （電荷の間の距離）² ÷ クーロンの法則の比例定数 ÷ もう片方の電荷」。単位を入れると $\frac{N \cdot m^{2}}{\frac{N \cdot m^{2}}{C^{2}} \cdot C}$ ＝ $C$ 。

クーロンの法則の比例定数の単位 N·m2C2 の意味｜基本単位で表すと kg·m3A2·s4

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