電磁気難関大の二次試験で出てくる

単位長さあたりの力の単位 ${\displaystyle \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}$ の意味｜基本単位で表すと ${\displaystyle \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{s}}^2}}$

単位長さあたりの力とは？ 言葉で意味をつかむ

単位長さあたりの力とは　長さ 1 m あたりに働く力。

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉の通りに単位を並べるだけで、${\displaystyle \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → 単位長さあたりの力 の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　${\displaystyle \mathrm{v}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{t}}}$

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ です。

[${\displaystyle \mathrm{v}}$] ${\displaystyle =\mathrm{m}÷\mathrm{s}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$

加速度 — 加速度の定義　${\displaystyle \mathrm{a}=\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}}$

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ をさらに s で割るので ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$ になります。

[${\displaystyle \mathrm{a}}$] ${\displaystyle =\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}÷\mathrm{s}=\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$

力 — 運動方程式　${\displaystyle \mathrm{F}=\mathrm{m}\mathrm{a}}$

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$ をかけると ${\displaystyle \frac{\mathrm{kg}·\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[${\displaystyle \mathrm{F}}$] ${\displaystyle =\frac{\mathrm{kg}\times \mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=\frac{\mathrm{kg}·\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=\mathrm{N}}$

よくある間違い：同じ単位でも別の量

次の量は 単位長さあたりの力 と次元 [M T⁻²] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

• ばね定数（${\displaystyle \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}$）— ばねを 1 m 伸ばすのに必要な力。ばねの硬さ。
• 表面張力（${\displaystyle \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}}$）— 液面のふち 1 m あたりに働く、縮もうとする力。

単位長さあたりの力が出てくる公式

• 単位長さあたりの力：${\displaystyle \mathrm{f}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{l}}}$
• 平行電流の間に働く力（長さあたり）：${\displaystyle \mathrm{f}=\frac{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{0}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{2}}}{2\mathrm{\pi }\mathrm{d}}}$

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。