熱・気体大学の物理で出てくる

シュテファン＝ボルツマン定数の単位 $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg}{s^{3} \cdot K^{4}}$

\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} = \frac{kg}{s^{3} \cdot K^{4}}

次元 [M T⁻³ Θ⁻⁴]

検算のポイント

答えがシュテファン＝ボルツマン定数なら、右辺の単位は $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ （＝ $\frac{kg}{s^{3} \cdot K^{4}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

シュテファン＝ボルツマン定数を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ になるのか

シュテファン＝ボルツマン定数とは？言葉で意味をつかむ

シュテファン＝ボルツマン定数とは　黒体の表面 1 m² から1秒あたりに出る放射を、温度の4乗と結びつける定数。

言葉の式

シュテファン＝ボルツマン定数＝ 1秒あたりに出る放射のエネルギー ÷ 表面積 ÷ （温度）⁴

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
1秒あたりに出る放射のエネルギー	仕事率・電力	$W$
表面積	面積	$m^{2}$
温度	温度（熱力学温度）	$K$

[シュテファン＝ボルツマン定数]

= W \div m^{2} \div K^{4}

= \frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}

= \frac{kg}{s^{3} \cdot K^{4}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → エネルギー・仕事・熱量 → 仕事率・電力 → 面積 → シュテファン＝ボルツマン定数の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力・エネルギー・仕事・熱量・仕事率・電力・面積の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

エネルギー・仕事・熱量 — 仕事の定義　

W = F x

仕事は「力 × 動かした距離」。N に m をかけた N·m に、J（ジュール）という名前がついています。

[

W

]

= N \times m = N \cdot m = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = J

仕事率・電力 — 仕事率の定義　

P = \frac{W}{t}

仕事率は「1秒あたりにする仕事」。J を s で割った $\frac{J}{s}$ が W（ワット）です。

[

P

]

= J \div s = \frac{J}{s} = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{3}} = W

面積 — 面積と長さ　

S = l^{2}

面積は長さ×長さなので m² です。

[

S

]

= m^{2}

シュテファン＝ボルツマン定数 — シュテファン＝ボルツマンの法則　

P = σ S T^{4}

黒体放射 P = σST⁴ から $σ = \frac{P}{{ST}^{4}}$ 。W を m² と K⁴ で割って $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ です。

[

σ

]

= W \div m^{2} \div K^{4} = \frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} = \frac{kg}{s^{3} \cdot K^{4}}

シュテファン＝ボルツマン定数が出てくる公式

シュテファン＝ボルツマンの法則： $P = σ S T^{4}$

まとめ

シュテファン＝ボルツマン定数とは、黒体の表面 1 m² から1秒あたりに出る放射を、温度の4乗と結びつける定数。
言葉の式シュテファン＝ボルツマン定数＝ 1秒あたりに出る放射のエネルギー ÷ 表面積 ÷ （温度）⁴ を単位に置き換えると $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg}{s^{3} \cdot K^{4}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1シュテファン＝ボルツマン定数は「1秒あたりに出る放射のエネルギー ÷ 表面積 ÷ （温度）⁴」で求められます。「1秒あたりに出る放射のエネルギー」[ $W$ ]、「表面積」[ $m^{2}$ ]、「温度」[ $K$ ] のとき、シュテファン＝ボルツマン定数の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$

かける量（1秒あたりに出る放射のエネルギー）の単位が分子、割る量（表面積・温度）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ 。

問2シュテファン＝ボルツマン定数＝ 1秒あたりに出る放射のエネルギー ÷ 表面積 ÷ （温度）⁴ です。「シュテファン＝ボルツマン定数」[ $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ ]、「表面積」[ $m^{2}$ ]、「温度」[ $K$ ] のとき、「1秒あたりに出る放射のエネルギー」の単位はどれ？

答えと解説

正解：B　 $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} \cdot m^{2} \cdot K^{4}$

言葉の式を「1秒あたりに出る放射のエネルギー」について解き直すと「1秒あたりに出る放射のエネルギー＝シュテファン＝ボルツマン定数 × 表面積 × （温度）⁴」。単位を入れると $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} \cdot m^{2} \cdot K^{4}$ ＝ $W$ 。

問3シュテファン＝ボルツマン定数＝ 1秒あたりに出る放射のエネルギー ÷ 表面積 ÷ （温度）⁴ です。「シュテファン＝ボルツマン定数」[ $\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$ ]、「1秒あたりに出る放射のエネルギー」[ $W$ ]、「温度」[ $K$ ] のとき、「表面積」の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{W}{\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} \cdot K^{4}}$

言葉の式を「表面積」について解き直すと「表面積＝ 1秒あたりに出る放射のエネルギー ÷ シュテファン＝ボルツマン定数 ÷ （温度）⁴」。単位を入れると $\frac{W}{\frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}} \cdot K^{4}}$ ＝ $m^{2}$ 。

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