本文へ移動

単タンブツ〜単位で物理を考える〜

力学定番問題

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度を、単位と代入で検算する

問題

なめらかな水平の台の上に質量 m₁ の物体を置き、軽い糸と台の端の滑車を通して、質量 m₂ のおもりをつるす。全体の加速度の大きさ a を求めよ。重力加速度の大きさを g とする。

答え

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは加速度 $a$ 。単位は $\frac{m}{s^{2}}$ 。

使う量の単位：

$m_{2}$ ：質量 [ $kg$ ]
$g$ ：加速度 [ $\frac{m}{s^{2}}$ ]
$(m_{1} + m_{2})$ ：質量 [ $kg$ ]

足し算・引き算でまとめた部分（ $(m_{1} + m_{2})$ ）は、中の項の単位がそろっているので、1つの量として扱えます。

[

\frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{kg} = \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は $\frac{m}{s^{2}}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1m₁ = 0（台の上に何もない）○ 合う

式に代入すると

a = g

物理的にはおもりが自由落下するだけなので g になるはず

2m₂ = 0（おもりがない）○ 合う

式に代入すると

a = 0

物理的には引っぱるものがないので、動かないはず

3m₁ → ∞（台の上の物体がとても重い）○ 合う

式に代入すると

a

→

0

物理的には重すぎてほとんど動かないはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

a = \frac{m_{2} g}{m_{1}}

[

\frac{m_{2} g}{m_{1}}

]

= \frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{kg} = \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで m₁ = 0（台の上に何もない） を代入すると、

m₁ → 0 を代入すると a → ∞。台の上に何もないとき、おもりは g で落ちるだけのはずです。動かすのは m₁ と m₂ の両方なので、分母は m₁ + m₂ です。

この問題の検算のコツ

「片方の質量を 0 にする」と、たいてい自由落下か静止になり、答えがすぐわかります。

ほかの定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

代入：μ′ = 0／θ = 90°／θ = 0

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ = 0／m₂ → ∞

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ → ∞／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

2本のばねを直列につないだときのばね定数

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

代入：k₂ → ∞／k₁ = k₂

斜方投射の水平到達距離

x = \frac{{v_{0}}^{2} \sin 2 θ}{g}

代入：θ = 0／θ = 90°／θ = 45°

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　 → 加速度の単位の意味

よくある質問

台の上の物体とおもり（滑車）の加速度の答えは？: $a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}$ です。
答えが合っているか、どうやって確かめる？: まず単位が $\frac{m}{s^{2}}$ になるかを確かめ、次に m₁ = 0、m₂ = 0、m₁ → ∞ のような特別な値を代入して、物理的に当然の結果になるかを確かめます。
単位が合っていれば正しい？: いいえ。係数、符号、sin と cos の取り違えは単位では見つかりません。このページの「 $a = \frac{m_{2} g}{m_{1}}$ 」のように、単位が合っていても間違っている答えは、代入で見抜きます。