力学難関大レベル

終端速度で抵抗の種類を取り違える

問題

質量 m の物体が、速さ v に比例する抵抗力 kv を受けながら落下する。十分時間がたったときの速さ（終端速度）v を求めよ。重力加速度の大きさを g とする。

ありがちな答え

v = \sqrt{\frac{mg}{k}}

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのは速度 $v$ 。単位は $\frac{m}{s}$ 。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

\sqrt{\frac{m g}{k}}

]

= \sqrt{\frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{\frac{N \cdot s}{m}}} = \sqrt{\frac{m}{s}}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{m}{s}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

抵抗力が速さの2乗に比例する（kv²）場合の答えと混ざった。比例定数 k の単位が違う（ $\frac{kg}{s}$ と $\frac{kg}{m}$ ）ので、単位で区別できる。

v = \frac{mg}{k}

[

\frac{m g}{k}

]

= \frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{\frac{N \cdot s}{m}} = \frac{m}{s}

　○ 一致

単位が $\frac{m}{s}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

v = 2 gh

v = \sqrt{2 gh}

x = v_{0} t + \frac{1}{2} at

x = v_{0} t + \frac{1}{2} {at}^{2}

x = v_{0} \sqrt{\frac{2 g}{h}}

x = v_{0} \sqrt{\frac{2 h}{g}}

落下・放物運動・抵抗力の検算のコツ

等加速度運動の距離は $v_{0} t + \frac{1}{2} {at}^{2}$ のように項ごとに m になるはず。抵抗力の比例定数は kv 型と kv² 型で単位が違う（ $\frac{kg}{s}$ と $\frac{kg}{m}$ ）ので、終端速度の式も区別できます。