力学

落下の速さで √ を忘れる

問題

高さ h から静かに落とした物体が、地面に着く直前の速さ v を求めよ。重力加速度の大きさを g とする。

ありがちな答え

v = 2 gh

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのは速度 $v$ 。単位は $\frac{m}{s}$ 。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

g h

]

= \frac{m}{s^{2}} \cdot m = \frac{m^{2}}{s^{2}}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{m}{s}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

エネルギー保存 $mgh = \frac{1}{2} {mv}^{2}$ から v² = 2gh を出したところで止まり、√ をとり忘れた。

v = \sqrt{2 gh}

[

\sqrt{g h}

]

= \sqrt{\frac{m}{s^{2}} \cdot m} = \sqrt{\frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{m}{s}

　○ 一致

単位が $\frac{m}{s}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

x = v_{0} t + \frac{1}{2} at

x = v_{0} t + \frac{1}{2} {at}^{2}

x = v_{0} \sqrt{\frac{2 g}{h}}

x = v_{0} \sqrt{\frac{2 h}{g}}

v = \sqrt{\frac{mg}{k}}

v = \frac{mg}{k}

落下・放物運動・抵抗力の検算のコツ

等加速度運動の距離は $v_{0} t + \frac{1}{2} {at}^{2}$ のように項ごとに m になるはず。抵抗力の比例定数は kv 型と kv² 型で単位が違う（ $\frac{kg}{s}$ と $\frac{kg}{m}$ ）ので、終端速度の式も区別できます。