力学難関大の二次試験で出てくる

粘性係数（粘度）の単位 Pa·s の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg}{m \cdot s}$

Pa \cdot s = \frac{kg}{m \cdot s}

次元 [M L⁻¹ T⁻¹]

検算のポイント

答えが粘性係数（粘度）なら、右辺の単位は $Pa \cdot s$ （＝ $\frac{kg}{m \cdot s}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

粘性係数（粘度）を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ Pa·s になるのか

粘性係数（粘度）とは？言葉で意味をつかむ

粘性係数（粘度）とは　流体のねばりけ。流れの速さの差に逆らう力の大きさを決める。

言葉の式

粘性係数（粘度）＝流れを妨げる力 × 層の間隔 ÷ 触れ合う面積 ÷ 流れの速さの差

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
流れを妨げる力	力	$N$
層の間隔	長さ	$m$
触れ合う面積	面積	$m^{2}$
流れの速さの差	速度	$\frac{m}{s}$

[粘性係数（粘度）]

= N \times m \div m^{2} \div \frac{m}{s}

= \frac{N \cdot s}{m^{2}}

= \frac{kg}{m \cdot s}

= Pa \cdot s

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $Pa \cdot s$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → 面積 → 粘性係数（粘度）の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力・面積の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

面積 — 面積と長さ　

S = l^{2}

面積は長さ×長さなので m² です。

[

S

]

= m^{2}

粘性係数（粘度） — ニュートンの粘性法則　

F = \frac{η S v}{d}

粘性の法則 $F = \frac{ηSv}{d}$ を η について解くと $η = \frac{Fd}{Sv}$ 。単位を当てはめて整理すると、 $\frac{N}{m^{2}}$ （= Pa）に s をかけた Pa·s が残ります。

[

η

]

= N \times m \div m^{2} \div \frac{m}{s} = \frac{N \cdot s}{m^{2}} = \frac{kg}{m \cdot s} = Pa \cdot s

粘性係数（粘度）が出てくる公式

ニュートンの粘性法則： $F = \frac{η S v}{d}$
ストークスの法則： $F = 6 π η r v$
レイノルズ数： $Re = \frac{ρ v l}{η}$

まとめ

粘性係数（粘度）とは、流体のねばりけ。流れの速さの差に逆らう力の大きさを決める。
言葉の式粘性係数（粘度）＝流れを妨げる力 × 層の間隔 ÷ 触れ合う面積 ÷ 流れの速さの差を単位に置き換えると $\frac{N \cdot s}{m^{2}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg}{m \cdot s}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1粘性係数（粘度）は「流れを妨げる力 × 層の間隔 ÷ 触れ合う面積 ÷ 流れの速さの差」で求められます。「流れを妨げる力」[ $N$ ]、「触れ合う面積」[ $m^{2}$ ]、「流れの速さの差」[ $\frac{m}{s}$ ]、「層の間隔」[ $m$ ] のとき、粘性係数（粘度）の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{N \cdot m}{m^{2} \cdot \frac{m}{s}}$

かける量（流れを妨げる力・層の間隔）の単位が分子、割る量（触れ合う面積・流れの速さの差）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{N \cdot m}{m^{2} \cdot \frac{m}{s}}$ ＝ $\frac{N \cdot s}{m^{2}}$ ＝ $Pa \cdot s$ 。

問2ストークスの法則 $F = 6 π η r v$ を使います。F 「力」[ $N$ ]、r 「長さ」[ $m$ ]、v 「速度」[ $\frac{m}{s}$ ] のとき、粘性係数（粘度） η の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{N}{m \cdot \frac{m}{s}}$

式を η について解くと $η = \frac{F}{r v}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{N}{m \cdot \frac{m}{s}}$ ＝ $\frac{N \cdot s}{m^{2}}$ ＝ $Pa \cdot s$ 。

問3粘性係数（粘度）＝流れを妨げる力 × 層の間隔 ÷ 触れ合う面積 ÷ 流れの速さの差です。「粘性係数（粘度）」[ $Pa \cdot s$ ]、「触れ合う面積」[ $m^{2}$ ]、「流れの速さの差」[ $\frac{m}{s}$ ]、「層の間隔」[ $m$ ] のとき、「流れを妨げる力」の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{(Pa \cdot s) \cdot m^{2} \cdot \frac{m}{s}}{m}$

言葉の式を「流れを妨げる力」について解き直すと「流れを妨げる力＝粘性係数（粘度） × 触れ合う面積 × 流れの速さの差 ÷ 層の間隔」。単位を入れると $\frac{(Pa \cdot s) \cdot m^{2} \cdot \frac{m}{s}}{m}$ ＝ $Pa \cdot m^{2}$ ＝ $N$ 。

粘性係数（粘度）の単位 Pa·s の意味｜基本単位で表すと kgm·s

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