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単タンブツ〜単位で物理を考える〜

波・光・量子定番問題

近づいてくる音源のドップラー効果を、単位と代入で検算する

問題

振動数 f の音を出す音源が、静止した観測者に向かって速さ v で近づく。音速を V として、観測者が聞く音の振動数 f′ を求めよ。

答え

f′ = \frac{Vf}{V - v}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは振動数・周波数 $f′$ 。単位は $Hz$ （＝ $\frac{1}{s}$ ）。

使う量の単位：

$V$ ：速度 [ $\frac{m}{s}$ ]
$f$ ：振動数・周波数 [ $Hz$ ]
$(V - v)$ ：速度 [ $\frac{m}{s}$ ]
$(V + v)$ ：速度 [ $\frac{m}{s}$ ]

足し算・引き算でまとめた部分（ $(V - v)$ 、 $(V + v)$ ）は、中の項の単位がそろっているので、1つの量として扱えます。

[

\frac{V f}{V - v}

]

= \frac{\frac{m}{s} \cdot Hz}{\frac{m}{s}} = \frac{1}{s}

　○ 一致

単位は $\frac{1}{s}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1v = 0（音源が止まっている）○ 合う

式に代入すると

f′ = f

物理的には何も動いていなければ、出した音がそのまま聞こえるはず

2v > 0（近づいてくる）○ 合う

式に代入すると

f′

>

f

物理的には救急車が近づくときのように、高い音に聞こえるはず

3v → V（音速で近づく）○ 合う

式に代入すると

f′

→ ∞

物理的には音源が自分の出した音に追いつき、波が1か所に重なる（衝撃波）ので、式が使えなくなるはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

f′ = \frac{Vf}{V + v}

[

\frac{V f}{V + v}

]

= \frac{\frac{m}{s} \cdot Hz}{\frac{m}{s}} = \frac{1}{s}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで v > 0（近づいてくる） を代入すると、

v > 0 で f′ < f。近づいてくる救急車のサイレンが低く聞こえることになります。これは遠ざかるときの式です。

この問題の検算のコツ

ドップラー効果の符号は「近づけば高く、遠ざかれば低く」と、v = 0 で元に戻ることの2つで確かめます。

ほかの定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

代入：μ′ = 0／θ = 90°／θ = 0

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ = 0／m₂ → ∞

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = 0／m₂ = 0／m₁ → ∞

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ → ∞／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

2本のばねを直列につないだときのばね定数

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

代入：k₂ → ∞／k₁ = k₂

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　 → 振動数・周波数の単位の意味

よくある質問

ドップラー効果（音源が近づく場合）の答えは？: $f′ = \frac{Vf}{V - v}$ です。
答えが合っているか、どうやって確かめる？: まず単位が Hz になるかを確かめ、次に v = 0、v > 0、v → V のような特別な値を代入して、物理的に当然の結果になるかを確かめます。
単位が合っていれば正しい？: いいえ。係数、符号、sin と cos の取り違えは単位では見つかりません。このページの「 $f′ = \frac{Vf}{V + v}$ 」のように、単位が合っていても間違っている答えは、代入で見抜きます。