力学定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度を、単位と代入で検算する

問題

傾きの角 θ の粗い斜面を、物体がすべり下りている。動摩擦係数を μ′、重力加速度の大きさを g として、斜面に沿って下向きの加速度 a を求めよ。

答え

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは加速度 $a$ 。単位は $\frac{m}{s^{2}}$ 。

使う量の単位：

$g$ ：加速度 [ $\frac{m}{s^{2}}$ ]
$sinθ$ ：単位のない数
$cosθ$ ：単位のない数
$μ′$ ：単位のない数

[

g sinθ

]

= \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致
[

g μ′ cosθ

]

= \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は $\frac{m}{s^{2}}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1μ′ = 0（摩擦のない斜面）○ 合う

式に代入すると

a = g \sin θ

物理的にはなめらかな斜面の加速度 g sin θ に戻るはず

2θ = 90°（垂直な壁）○ 合う

式に代入すると

a = g

物理的には壁に沿って落ちるだけなので、自由落下の g になるはず（垂直抗力が 0 なので摩擦もない）

3θ = 0（水平な面）○ 合う

式に代入すると

a = - μ′g

物理的には水平な面をすべる物体は、摩擦で減速するだけ。大きさ μ′g でブレーキがかかるはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

a = g (\cos θ - μ′ \sin θ)

[

g cosθ

]

= \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致
[

g μ′ sinθ

]

= \frac{m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで θ = 0（水平な面） を代入すると、

θ = 0 を代入すると a = g。水平な床に置いた物体が、勝手に g で加速することになってしまいます。

この問題の検算のコツ

sin と cos の取り違えは単位では見つかりません。θ = 0 と θ = 90° を入れるのが一番の近道です。

ほかの定番問題

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ = 0／m₂ → ∞

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = 0／m₂ = 0／m₁ → ∞

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ → ∞／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

2本のばねを直列につないだときのばね定数

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

代入：k₂ → ∞／k₁ = k₂

斜方投射の水平到達距離

x = \frac{{v_{0}}^{2} \sin 2 θ}{g}

代入：θ = 0／θ = 90°／θ = 45°

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　 → 加速度の単位の意味

よくある質問

斜面をすべる物体の加速度（摩擦あり）の答えは？: $a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)$ です。
答えが合っているか、どうやって確かめる？: まず単位が $\frac{m}{s^{2}}$ になるかを確かめ、次に μ′ = 0、θ = 90°、θ = 0 のような特別な値を代入して、物理的に当然の結果になるかを確かめます。
単位が合っていれば正しい？: いいえ。係数、符号、sin と cos の取り違えは単位では見つかりません。このページの「a = g(cos θ − μ′ sin θ)」のように、単位が合っていても間違っている答えは、代入で見抜きます。