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単タンブツ〜単位で物理を考える〜

力学定番問題

2本のばねを直列につないだときのばね定数を、単位と代入で検算する

問題

ばね定数 k₁ と k₂ の軽いばねを一直線につなぎ、1本のばねとみなす。全体のばね定数 k を求めよ。

答え

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのはばね定数 $k$ 。単位は $\frac{N}{m}$ （＝ $\frac{kg}{s^{2}}$ ）。

使う量の単位：

$k_{1}$ ：ばね定数 [ $\frac{N}{m}$ ]
$k_{2}$ ：ばね定数 [ $\frac{N}{m}$ ]
$(k_{1} + k_{2})$ ：ばね定数 [ $\frac{N}{m}$ ]

足し算・引き算でまとめた部分（ $(k_{1} + k_{2})$ ）は、中の項の単位がそろっているので、1つの量として扱えます。

[

\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

]

= \frac{{(\frac{N}{m})}^{2}}{\frac{N}{m}} = \frac{kg}{s^{2}}

　○ 一致

単位は $\frac{kg}{s^{2}}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1k₂ → ∞（片方が曲がらない棒）○ 合う

式に代入すると

k

→

k_{1}

物理的には伸びるのは k₁ のばねだけなので、k₁ そのものになるはず

2k₁ = k₂（同じばね）○ 合う

式に代入すると

k = \frac{k_{1}}{2}

物理的には同じばねを2本つなぐと、同じ力で2倍伸びる。ばね定数は半分になるはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

k = k_{1} + k_{2}

[

k_{1}

]

= \frac{N}{m} = \frac{kg}{s^{2}}

　○ 一致
[

k_{2}

]

= \frac{N}{m} = \frac{kg}{s^{2}}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで k₂ → ∞（片方が曲がらない棒） を代入すると、

k₂ → ∞ を代入すると k → ∞。片方が棒でも、もう片方のばねは伸びるので、全体が伸びなくなることはありません。k₁ + k₂ は並列につないだときの式です。

この問題の検算のコツ

直列・並列の答えは「片方を無限大（棒・断線）にする」「片方を 0 にする」で、どちらの式か判断できます。

ほかの定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

代入：μ′ = 0／θ = 90°／θ = 0

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ = 0／m₂ → ∞

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = 0／m₂ = 0／m₁ → ∞

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ → ∞／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

斜方投射の水平到達距離

x = \frac{{v_{0}}^{2} \sin 2 θ}{g}

代入：θ = 0／θ = 90°／θ = 45°

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　 → ばね定数の単位の意味

よくある質問

ばねの直列接続の合成ばね定数の答えは？: $k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}$ です。
答えが合っているか、どうやって確かめる？: まず単位が $\frac{N}{m}$ になるかを確かめ、次に k₂ → ∞、k₁ = k₂ のような特別な値を代入して、物理的に当然の結果になるかを確かめます。
単位が合っていれば正しい？: いいえ。係数、符号、sin と cos の取り違えは単位では見つかりません。このページの「k = k₁ + k₂」のように、単位が合っていても間違っている答えは、代入で見抜きます。