電磁気

平行板コンデンサーの容量で S と d を逆にする

問題

面積 S の2枚の極板を、間隔 d で平行に置いたコンデンサーの静電容量 C を求めよ。真空の誘電率を ε₀ とする。

ありがちな答え

C = \frac{ε_{0} d}{S}

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのは静電容量 $C$ 。単位は $F$ （＝ $\frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{2}}$ ）。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

\frac{ε_{0} d}{S}

]

= \frac{\frac{F}{m} \cdot m}{m^{2}} = \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{4}}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{2}}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

「極板が広いほど、間が狭いほど電気をためやすい」という向きを確かめずに書いた。ε₀ の単位が $\frac{F}{m}$ なので、F にするには m をもう1つかける（ $\frac{S}{d}$ ）必要がある。

C = \frac{ε_{0} S}{d}

[

\frac{ε_{0} S}{d}

]

= \frac{\frac{F}{m} \cdot m^{2}}{m} = \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{2}}

　○ 一致

単位が $\frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{2}}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

U = \frac{1}{2} CV

U = \frac{1}{2} {CV}^{2}

τ = \frac{R}{C}

τ = RC

\frac{1}{2}

F = QE

F = \frac{1}{2} QE

コンデンサーの検算のコツ

$C = \frac{Q}{V}$ 、エネルギーは $\frac{1}{2} {CV}^{2}$ （J）。CV は電荷（C）なのでエネルギーではありません。ε₀ の単位は $\frac{F}{m}$ なので、容量 F を作るには長さを1つかける必要があります。時定数 RC は秒になります。