力学難関大レベル

回転の運動エネルギーで ω を2乗し忘れる

問題

慣性モーメント I の剛体が、角速度 ω で回転している。回転の運動エネルギー K を求めよ。

ありがちな答え

K = \frac{1}{2} Iω

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのはエネルギー・仕事・熱量 $K$ 。単位は $J$ （＝ $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}$ ）。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

I ω

]

= (kg \cdot m^{2}) \cdot \frac{rad}{s} = \frac{kg \cdot m^{2}}{s}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

角運動量 L = Iω と混ざった。 $\frac{1}{2} {mv}^{2}$ の m → I、v → ω と対応させれば2乗が必要だとわかる。

K = \frac{1}{2} {Iω}^{2}

[

I ω^{2}

]

= (kg \cdot m^{2}) \cdot {(\frac{rad}{s})}^{2} = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}

　○ 一致

単位が $\frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

F = \frac{mv}{r}

F = \frac{{mv}^{2}}{r}

T = \frac{2 πv}{r}

T = \frac{2 πr}{v}

円運動・剛体の回転の検算のコツ

向心加速度 $\frac{v^{2}}{r}$ 、回転の運動エネルギー $\frac{1}{2} {Iω}^{2}$ 。直線運動の式と「m → I、v → ω」と対応させると、2乗の付け忘れを防げます。