力学難関大の二次試験で出てくる

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）の単位 $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg}{m}$

\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}} = \frac{kg}{m}

次元 [M L⁻¹]

検算のポイント

答えが抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）なら、右辺の単位は $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ （＝ $\frac{kg}{m}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ になるのか

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）とは？言葉で意味をつかむ

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）とは　速さの2乗 $\frac{1 m^{2}}{s^{2}}$ あたりの抵抗力。

言葉の式

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）＝抵抗力 ÷ （物体の速さ）²

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
抵抗力	力	$N$
物体の速さ	速度	$\frac{m}{s}$

[抵抗力の比例定数（速さの

2

乗に比例）]

= N \div {(\frac{m}{s})}^{2}

= \frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}

= \frac{kg}{m}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → 抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例） — 速さの2乗に比例する抵抗力　

F = k v^{2}

F = kv² から $k = \frac{F}{v^{2}}$ 。N を ${(\frac{m}{s})}^{2}$ で割って $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ 、基本単位では $\frac{kg}{m}$ です。弦の線密度と同じ次元になります。

[

k

]

= N \div {(\frac{m}{s})}^{2} = \frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}} = \frac{kg}{m}

よくある間違い：同じ単位でも別の量

次の量は抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）と次元 [M L⁻¹] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

線密度（弦・ひも）（ $\frac{kg}{m}$ ）— 長さ 1 m あたりの質量。

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）が出てくる公式

速さの2乗に比例する抵抗力： $F = k v^{2}$
終端速度（抵抗力が速さの2乗に比例）： $v = \sqrt{\frac{m g}{k}}$

まとめ

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）とは、速さの2乗 $\frac{1 m^{2}}{s^{2}}$ あたりの抵抗力。
言葉の式抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）＝抵抗力 ÷ （物体の速さ）² を単位に置き換えると $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg}{m}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）は「抵抗力 ÷ （物体の速さ）²」で求められます。「抵抗力」[ $N$ ]、「物体の速さ」[ $\frac{m}{s}$ ] のとき、抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{N}{{(\frac{m}{s})}^{2}}$

かける量（抵抗力）の単位が分子、割る量（物体の速さ）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{N}{{(\frac{m}{s})}^{2}}$ ＝ $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ 。

問2終端速度（抵抗力が速さの2乗に比例） $v = \sqrt{\frac{m g}{k}}$ を使います。v 「速度」[ $\frac{m}{s}$ ]、m 「質量」[ $kg$ ]、g 「加速度」[ $\frac{m}{s^{2}}$ ] のとき、抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例） k の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{{(\frac{m}{s})}^{2}}$

式を k について解くと $k = \frac{m g}{v^{2}}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{kg \cdot \frac{m}{s^{2}}}{{(\frac{m}{s})}^{2}}$ ＝ $\frac{kg}{m}$ ＝ $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ 。

問3抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）＝抵抗力 ÷ （物体の速さ）² です。「抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）」[ $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ ]、「物体の速さ」[ $\frac{m}{s}$ ] のとき、「抵抗力」の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}} \cdot {(\frac{m}{s})}^{2}$

言葉の式を「抵抗力」について解き直すと「抵抗力＝抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例） × （物体の速さ）²」。単位を入れると $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}} \cdot {(\frac{m}{s})}^{2}$ ＝ $N$ 。

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