力学難関大の二次試験で出てくる

線密度（弦・ひも）の単位 $\frac{kg}{m}$ の意味を言葉から理解する

\frac{kg}{m}

次元 [M L⁻¹]

検算のポイント

答えが線密度（弦・ひも）なら、右辺の単位は $\frac{kg}{m}$ になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

線密度（弦・ひも）とは？言葉で意味をつかむ

線密度（弦・ひも）とは　長さ 1 m あたりの質量。

言葉の式

線密度（弦・ひも）＝弦の質量 ÷ 弦の長さ

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
弦の質量	質量	$kg$
弦の長さ	長さ	$m$

[線密度（弦・ひも）]

= kg \div m

= \frac{kg}{m}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{kg}{m}$ が出てきました。

次の量は線密度（弦・ひも）と次元 [M L⁻¹] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）（ $\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}$ ）— 速さの2乗 $\frac{1 m^{2}}{s^{2}}$ あたりの抵抗力。

まとめ

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1線密度（弦・ひも）は「弦の質量 ÷ 弦の長さ」で求められます。「弦の質量」[ $kg$ ]、「弦の長さ」[ $m$ ] のとき、線密度（弦・ひも）の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{kg}{m}$

かける量（弦の質量）の単位が分子、割る量（弦の長さ）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{kg}{m}$ 。

問2弦を伝わる波の速さ $v = \sqrt{\frac{T}{ρ}}$ を使います。v 「速度」[ $\frac{m}{s}$ ]、T 「力」[ $N$ ] のとき、線密度（弦・ひも） ρ の単位はどれ？

答えと解説

正解：B　 $\frac{N}{{(\frac{m}{s})}^{2}}$

式を ρ について解くと $ρ = \frac{T}{v^{2}}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{N}{{(\frac{m}{s})}^{2}}$ ＝ $\frac{s^{2} \cdot N}{m^{2}}$ ＝ $\frac{kg}{m}$ 。

問3線密度（弦・ひも）＝弦の質量 ÷ 弦の長さです。「線密度（弦・ひも）」[ $\frac{kg}{m}$ ]、「弦の長さ」[ $m$ ] のとき、「弦の質量」の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{kg}{m} \cdot m$

言葉の式を「弦の質量」について解き直すと「弦の質量＝線密度（弦・ひも） × 弦の長さ」。単位を入れると $\frac{kg}{m} \cdot m$ ＝ $kg$ 。