力学高校物理・化学で出てくる

数密度の単位 $\frac{1}{m^{3}}$ の意味を言葉から理解する

\frac{1}{m^{3}}

次元 [L⁻³]

検算のポイント

答えが数密度なら、右辺の単位は $\frac{1}{m^{3}}$ になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

数密度を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{1}{m^{3}}$ になるのか

数密度とは？言葉で意味をつかむ

数密度とは　1 m³ あたりの粒子の個数。

言葉の式

数密度＝粒子の個数 ÷ 体積

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
粒子の個数	個数・無次元数	$1$ （無次元）
体積	体積	$m^{3}$

[数密度]

= 1 \div m^{3}

= \frac{1}{m^{3}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{1}{m^{3}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。体積 → 数密度の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

体積 — 体積と長さ　

V = l^{3}

体積は長さを3回かけるので m³ です。

[

V

]

= m^{3}

数密度 — 数密度の定義　

n = \frac{N}{V}

数密度は「体積あたりの個数」。個数には単位がないので、m³ で割った m⁻³ だけが残ります。

[

n

]

= 1 \div m^{3} = \frac{1}{m^{3}}

数密度が出てくる公式

数密度の定義： $n = \frac{N}{V}$
電流密度とキャリアの運動： $j = n q v$
ホール係数： $R_{H} = \frac{1}{n q}$
ホール電圧： $V_{H} = \frac{I B}{n q d}$
粒子の流束と数密度・速さ： $Φ = n v$

まとめ

数密度とは、1 m³ あたりの粒子の個数。
言葉の式数密度＝粒子の個数 ÷ 体積を単位に置き換えると $\frac{1}{m^{3}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1数密度は「粒子の個数 ÷ 体積」で求められます。「粒子の個数」[単位なし]、「体積」[ $m^{3}$ ] のとき、数密度の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{1}{m^{3}}$

分子に来る単位はなく（1）、割る量（体積）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{1}{m^{3}}$ 。

問2電流密度とキャリアの運動 $j = n q v$ を使います。j 「電流密度」[ $\frac{A}{m^{2}}$ ]、q 「電荷（電気量）」[ $C$ ]、v 「速度」[ $\frac{m}{s}$ ] のとき、数密度 n の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{\frac{A}{m^{2}}}{C \cdot \frac{m}{s}}$

式を n について解くと $n = \frac{j}{q v}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{\frac{A}{m^{2}}}{C \cdot \frac{m}{s}}$ ＝ $\frac{A \cdot s}{m^{3} \cdot C}$ ＝ $\frac{1}{m^{3}}$ 。

問3数密度＝粒子の個数 ÷ 体積です。「数密度」[ $\frac{1}{m^{3}}$ ] のとき、「体積」の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{1}{\frac{1}{m^{3}}}$

言葉の式を「体積」について解き直すと「体積＝粒子の個数 ÷ 数密度」。単位を入れると $\frac{1}{\frac{1}{m^{3}}}$ ＝ $m^{3}$ 。

次に読む：数密度を使って表される量

ホール係数

\frac{m^{3}}{C}

数密度の単位 1m3 の意味を言葉から理解する

数密度とは？ 言葉で意味をつかむ

基本単位までたどる

数密度が出てくる公式

練習問題：分子と分母を見きわめる

次に読む：数密度を使って表される量

数密度の単位 $\frac{1}{m^{3}}$ の意味を言葉から理解する

数密度とは？言葉で意味をつかむ