熱・気体難関大の二次試験で出てくる

熱伝導率の単位 $\frac{W}{m \cdot K}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg \cdot m}{s^{3} \cdot K}$

\frac{W}{m \cdot K} = \frac{kg \cdot m}{s^{3} \cdot K}

次元 [M L T⁻³ Θ⁻¹]

検算のポイント

答えが熱伝導率なら、右辺の単位は $\frac{W}{m \cdot K}$ （＝ $\frac{kg \cdot m}{s^{3} \cdot K}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

熱伝導率を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{W}{m \cdot K}$ になるのか

熱伝導率とは？言葉で意味をつかむ

熱伝導率とは　物質の熱の伝えやすさ。厚さ 1 m・面積 1 m²・温度差 1 K のとき、1秒あたりに伝わる熱。

言葉の式

熱伝導率＝ 1秒あたりに伝わる熱 × 板の厚さ ÷ 板の面積 ÷ 両面の温度差

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
1秒あたりに伝わる熱	仕事率・電力	$W$
板の厚さ	長さ	$m$
板の面積	面積	$m^{2}$
両面の温度差	温度（熱力学温度）	$K$

[熱伝導率]

= W \times m \div m^{2} \div K

= \frac{W}{m \cdot K}

= \frac{kg \cdot m}{s^{3} \cdot K}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{W}{m \cdot K}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → エネルギー・仕事・熱量 → 仕事率・電力 → 面積 → 熱伝導率の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力・エネルギー・仕事・熱量・仕事率・電力・面積の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

エネルギー・仕事・熱量 — 仕事の定義　

W = F x

仕事は「力 × 動かした距離」。N に m をかけた N·m に、J（ジュール）という名前がついています。

[

W

]

= N \times m = N \cdot m = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = J

仕事率・電力 — 仕事率の定義　

P = \frac{W}{t}

仕事率は「1秒あたりにする仕事」。J を s で割った $\frac{J}{s}$ が W（ワット）です。

[

P

]

= J \div s = \frac{J}{s} = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{3}} = W

面積 — 面積と長さ　

S = l^{2}

面積は長さ×長さなので m² です。

[

S

]

= m^{2}

熱伝導率 — 熱伝導（フーリエの法則）　

P = \frac{λ S ΔT}{d}

伝わる熱の速さ $P = \frac{λSΔT}{d}$ を λ について解くと $λ = \frac{Pd}{SΔT}$ 。W × m ÷ m² ÷ K を整理して $\frac{W}{m \cdot K}$ です。

[

λ

]

= W \times m \div m^{2} \div K = \frac{W}{m \cdot K} = \frac{kg \cdot m}{s^{3} \cdot K}

熱伝導率が出てくる公式

熱伝導（フーリエの法則）： $P = \frac{λ S ΔT}{d}$

まとめ

熱伝導率とは、物質の熱の伝えやすさ。厚さ 1 m・面積 1 m²・温度差 1 K のとき、1秒あたりに伝わる熱。
言葉の式熱伝導率＝ 1秒あたりに伝わる熱 × 板の厚さ ÷ 板の面積 ÷ 両面の温度差を単位に置き換えると $\frac{W}{m \cdot K}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg \cdot m}{s^{3} \cdot K}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1熱伝導率は「1秒あたりに伝わる熱 × 板の厚さ ÷ 板の面積 ÷ 両面の温度差」で求められます。「1秒あたりに伝わる熱」[ $W$ ]、「板の厚さ」[ $m$ ]、「板の面積」[ $m^{2}$ ]、「両面の温度差」[ $K$ ] のとき、熱伝導率の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{W \cdot m}{m^{2} \cdot K}$

かける量（1秒あたりに伝わる熱・板の厚さ）の単位が分子、割る量（板の面積・両面の温度差）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{W \cdot m}{m^{2} \cdot K}$ ＝ $\frac{W}{m \cdot K}$ 。

問2熱伝導率＝ 1秒あたりに伝わる熱 × 板の厚さ ÷ 板の面積 ÷ 両面の温度差です。「熱伝導率」[ $\frac{W}{m \cdot K}$ ]、「板の厚さ」[ $m$ ]、「板の面積」[ $m^{2}$ ]、「両面の温度差」[ $K$ ] のとき、「1秒あたりに伝わる熱」の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{\frac{W}{m \cdot K} \cdot m^{2} \cdot K}{m}$

言葉の式を「1秒あたりに伝わる熱」について解き直すと「1秒あたりに伝わる熱＝熱伝導率 × 板の面積 × 両面の温度差 ÷ 板の厚さ」。単位を入れると $\frac{\frac{W}{m \cdot K} \cdot m^{2} \cdot K}{m}$ ＝ $W$ 。

問3熱伝導率＝ 1秒あたりに伝わる熱 × 板の厚さ ÷ 板の面積 ÷ 両面の温度差です。「熱伝導率」[ $\frac{W}{m \cdot K}$ ]、「1秒あたりに伝わる熱」[ $W$ ]、「板の面積」[ $m^{2}$ ]、「両面の温度差」[ $K$ ] のとき、「板の厚さ」の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{\frac{W}{m \cdot K} \cdot m^{2} \cdot K}{W}$

言葉の式を「板の厚さ」について解き直すと「板の厚さ＝熱伝導率 × 板の面積 × 両面の温度差 ÷ 1秒あたりに伝わる熱」。単位を入れると $\frac{\frac{W}{m \cdot K} \cdot m^{2} \cdot K}{W}$ ＝ $m$ 。

熱伝導率の単位 Wm·K の意味｜基本単位で表すと kg·ms3·K

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熱伝導率が出てくる公式

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