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単タンブツ〜単位で物理を考える〜

力学定番問題

鉛直面内の円運動、最下点での糸の張力を、単位と代入で検算する

問題

長さ r の糸の先に質量 m のおもりをつけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さが v のとき、糸の張力 T を求めよ。重力加速度の大きさを g とする。

答え

T = mg + \frac{{mv}^{2}}{r}

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは力 $T$ 。単位は $N$ （＝ $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ ）。

使う量の単位：

$m$ ：質量 [ $kg$ ]
$g$ ：加速度 [ $\frac{m}{s^{2}}$ ]
$v$ ：速度 [ $\frac{m}{s}$ ]
$r$ ：長さ [ $m$ ]

[

m g

]

= kg \cdot \frac{m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}}

　○ 一致
[

\frac{m v^{2}}{r}

]

= \frac{kg \cdot {(\frac{m}{s})}^{2}}{m} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

1v = 0（止まってぶら下がる）○ 合う

式に代入すると

T = mg

物理的にはおもりがぶら下がっているだけなので、張力は重さ mg と等しいはず

2v を大きくする○ 合う

式に代入すると

T

>

mg

物理的には速く回すほど、手に感じる引っぱりは強くなるはず

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

ありがちな答え

T = mg - \frac{{mv}^{2}}{r}

[

m g

]

= kg \cdot \frac{m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}}

　○ 一致
[

\frac{m v^{2}}{r}

]

= \frac{kg \cdot {(\frac{m}{s})}^{2}}{m} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}}

　○ 一致

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで v を大きくする を代入すると、

v を大きくすると T が小さくなり、やがて負になります。糸が「押す」ことはできないので、おかしいとわかります。最下点では、向心力 $\frac{{mv}^{2}}{r}$ を出すために張力が重力より大きくなります。

この問題の検算のコツ

符号のミスは、「この量を大きくすると答えは増えるはずか、減るはずか」を考えると見つかります。

ほかの定番問題

粗い斜面をすべり下りる物体の加速度

a = g (\sin θ - μ′ \cos θ)

代入：μ′ = 0／θ = 90°／θ = 0

アトウッドの器械（滑車につるした2つのおもり）の加速度

a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ = 0／m₂ → ∞

水平な台の上の物体と、つるしたおもりの加速度

a = \frac{m_{2} g}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = 0／m₂ = 0／m₁ → ∞

静止した物体への弾性衝突（はね飛ばされる側の速さ）

V = \frac{2 m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₁ = m₂／m₂ → ∞／m₁ → ∞

完全非弾性衝突（くっついた後の速さ）

V = \frac{m_{1} v_{0}}{m_{1} + m_{2}}

代入：m₂ = 0／m₂ → ∞／m₁ = m₂

2本のばねを直列につないだときのばね定数

k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

代入：k₂ → ∞／k₁ = k₂

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　 → 力の単位の意味

よくある質問

鉛直面内の円運動、最下点の張力の答えは？: $T = mg + \frac{{mv}^{2}}{r}$ です。
答えが合っているか、どうやって確かめる？: まず単位が N になるかを確かめ、次に v = 0、v を大きくするのような特別な値を代入して、物理的に当然の結果になるかを確かめます。
単位が合っていれば正しい？: いいえ。係数、符号、sin と cos の取り違えは単位では見つかりません。このページの「 $T = mg - \frac{{mv}^{2}}{r}$ 」のように、単位が合っていても間違っている答えは、代入で見抜きます。