力学

水平投射の飛距離で h と g を逆にする

問題

高さ h の台から、速さ v₀ で水平に投げた物体が地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。重力加速度の大きさを g とする。

ありがちな答え

x = v_{0} \sqrt{\frac{2 g}{h}}

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのは長さ $x$ 。単位は $m$ 。

使える量の単位：

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

\sqrt{\frac{{v_{0}}^{2} g}{h}}

]

= \sqrt{\frac{{(\frac{m}{s})}^{2} \cdot \frac{m}{s^{2}}}{m}} = \sqrt{\frac{m^{2}}{s^{4}}} = \frac{m}{s^{2}}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $m$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

落下時間 $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ を出すときに、h と g の位置を逆にした。

x = v_{0} \sqrt{\frac{2 h}{g}}

[

\sqrt{\frac{{v_{0}}^{2} h}{g}}

]

= \sqrt{\frac{{(\frac{m}{s})}^{2} \cdot m}{\frac{m}{s^{2}}}} = \sqrt{m^{2}} = m

　○ 一致

単位が $m$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

v = 2 gh

v = \sqrt{2 gh}

x = v_{0} t + \frac{1}{2} at

x = v_{0} t + \frac{1}{2} {at}^{2}

v = \sqrt{\frac{mg}{k}}

v = \frac{mg}{k}

落下・放物運動・抵抗力の検算のコツ

等加速度運動の距離は $v_{0} t + \frac{1}{2} {at}^{2}$ のように項ごとに m になるはず。抵抗力の比例定数は kv 型と kv² 型で単位が違う（ $\frac{kg}{s}$ と $\frac{kg}{m}$ ）ので、終端速度の式も区別できます。