力学難関大の二次試験で出てくる

角加速度の単位 $\frac{rad}{s^{2}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{1}{s^{2}}$

\frac{rad}{s^{2}} = \frac{1}{s^{2}}

次元 [T⁻²]

検算のポイント

答えが角加速度なら、右辺の単位は $\frac{rad}{s^{2}}$ （＝ $\frac{1}{s^{2}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

角加速度を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{rad}{s^{2}}$ になるのか
$\frac{rad}{s^{2}}$ のいろいろな書き方と、その根拠になる公式

角加速度とは？言葉で意味をつかむ

角加速度とは　1秒あたりに角速度がどれだけ変わるか。

言葉の式

角加速度＝角速度の変化 ÷ かかった時間

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
角速度の変化	角速度	$\frac{rad}{s}$
かかった時間	時間	$s$

[角加速度]

= \frac{rad}{s} \div s

= \frac{rad}{s^{2}}

= \frac{1}{s^{2}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{rad}{s^{2}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。角度（平面角） → 角速度 → 角加速度の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

角度（平面角） — 弧度法（ラジアン）の定義　

θ = \frac{l}{r}

角度（ラジアン）は「弧の長さ ÷ 半径」で決めます。m を m で割るので単位は消えてしまい、rad は実は次元をもちません。

[

θ

]

= m \div m = 1 = rad

角速度 — 角速度の定義　

ω = \frac{θ}{t}

角速度は「1秒あたりに回る角度」。rad を s で割って $\frac{rad}{s}$ です。rad は次元をもたないので、次元だけ見れば s⁻¹ になります。

[

ω

]

= rad \div s = \frac{rad}{s} = \frac{1}{s}

角加速度 — 角加速度の定義　

α = \frac{Δω}{Δt}

角加速度は、角速度が1秒あたりどれだけ変わるか。 $\frac{rad}{s}$ をもう一度 s で割って $\frac{rad}{s^{2}}$ です。

[

α

]

= \frac{rad}{s} \div s = \frac{rad}{s^{2}} = \frac{1}{s^{2}}

$\frac{rad}{s^{2}}$ の別の書き方

同じ量でも、使う公式によって単位の見え方が変わります。どれも基本単位にすると一致します。

書き方	根拠になる公式
$\frac{rad}{s^{2}} = \frac{N}{m \cdot kg}$	回転の運動方程式 $τ = I α$

角加速度が出てくる公式

角加速度の定義： $α = \frac{Δω}{Δt}$
回転の運動方程式： $τ = I α$

まとめ

角加速度とは、1秒あたりに角速度がどれだけ変わるか。
言葉の式角加速度＝角速度の変化 ÷ かかった時間を単位に置き換えると $\frac{rad}{s^{2}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{1}{s^{2}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1角加速度は「角速度の変化 ÷ かかった時間」で求められます。「角速度の変化」[ $\frac{rad}{s}$ ]、「かかった時間」[ $s$ ] のとき、角加速度の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{\frac{rad}{s}}{s}$

かける量（角速度の変化）の単位が分子、割る量（かかった時間）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{\frac{rad}{s}}{s}$ ＝ $\frac{rad}{s^{2}}$ 。

問2回転の運動方程式 $τ = I α$ を使います。τ 「力のモーメント（トルク）」[ $N \cdot m$ ]、I 「慣性モーメント」[ $kg \cdot m^{2}$ ] のとき、角加速度 α の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{N \cdot m}{kg \cdot m^{2}}$

式を α について解くと $α = \frac{τ}{I}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{N \cdot m}{kg \cdot m^{2}}$ ＝ $\frac{N}{m \cdot kg}$ ＝ $\frac{rad}{s^{2}}$ 。

問3角加速度＝角速度の変化 ÷ かかった時間です。「角加速度」[ $\frac{rad}{s^{2}}$ ]、「かかった時間」[ $s$ ] のとき、「角速度の変化」の単位はどれ？

答えと解説

正解：B　 $\frac{rad}{s^{2}} \cdot s$

言葉の式を「角速度の変化」について解き直すと「角速度の変化＝角加速度 × かかった時間」。単位を入れると $\frac{rad}{s^{2}} \cdot s$ ＝ $\frac{rad}{s}$ 。

角加速度の単位 rads2 の意味｜基本単位で表すと 1s2

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