電磁気難関大の二次試験で出てくる

電束密度の単位 ${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{{\mathrm{m}}^2}}$ の意味｜基本単位で表すと ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}·\mathrm{s}}{{\mathrm{m}}^2}}$

電束密度とは？ 言葉で意味をつかむ

電束密度とは　誘電率と電場の強さの積。

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉の通りに単位を並べるだけで、${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{{\mathrm{m}}^2}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。電荷（電気量） → 速度 → 加速度 → 力 → エネルギー・仕事・熱量 → 電圧・電位 → 静電容量 → 面積 → 誘電率 → 電場（電界） → 電束密度 の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：電荷（電気量）・速度・加速度・力・エネルギー・仕事・熱量・面積の単位（知っていれば飛ばしてOK）

電荷（電気量） — 電荷と電流　${\displaystyle \mathrm{q}=\mathrm{I}\mathrm{t}}$

電荷は「電流 × 流れた時間」。A に s をかけた A·s が C（クーロン）です。

[${\displaystyle \mathrm{q}}$] ${\displaystyle =\mathrm{A}\times \mathrm{s}=\mathrm{A}·\mathrm{s}=\mathrm{C}}$

速度 — 速さの定義　${\displaystyle \mathrm{v}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{t}}}$

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ です。

[${\displaystyle \mathrm{v}}$] ${\displaystyle =\mathrm{m}÷\mathrm{s}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$

加速度 — 加速度の定義　${\displaystyle \mathrm{a}=\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}}$

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$ をさらに s で割るので ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$ になります。

[${\displaystyle \mathrm{a}}$] ${\displaystyle =\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}÷\mathrm{s}=\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$

力 — 運動方程式　${\displaystyle \mathrm{F}=\mathrm{m}\mathrm{a}}$

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$ をかけると ${\displaystyle \frac{\mathrm{kg}·\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}$。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[${\displaystyle \mathrm{F}}$] ${\displaystyle =\frac{\mathrm{kg}\times \mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=\frac{\mathrm{kg}·\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=\mathrm{N}}$

エネルギー・仕事・熱量 — 仕事の定義　${\displaystyle \mathrm{W}=\mathrm{F}\mathrm{x}}$

仕事は「力 × 動かした距離」。N に m をかけた N·m に、J（ジュール）という名前がついています。

[${\displaystyle \mathrm{W}}$] ${\displaystyle =\mathrm{N}\times \mathrm{m}=\mathrm{N}·\mathrm{m}=\frac{\mathrm{kg}·{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}=\mathrm{J}}$

面積 — 面積と長さ　${\displaystyle \mathrm{S}={\mathrm{l}}^2}$

面積は長さ×長さなので m² です。

[${\displaystyle \mathrm{S}}$] ${\displaystyle ={\mathrm{m}}^2}$

よくある間違い：同じ単位でも別の量

次の量は 電束密度 と次元 [L⁻² T I] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

• 面電荷密度（${\displaystyle \frac{\mathrm{C}}{{\mathrm{m}}^2}}$）— 面積 1 m² あたりの電荷。

電束密度が出てくる公式

• 電束密度と電場：${\displaystyle \mathrm{D}=\mathrm{\epsilon }\mathrm{E}}$

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。