力学高校物理・化学で出てくる

万有引力定数の単位 $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$

\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}} = \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}

次元 [M⁻¹ L³ T⁻²]

検算のポイント

答えが万有引力定数なら、右辺の単位は $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ （＝ $\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

万有引力定数を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ になるのか

万有引力定数とは？言葉で意味をつかむ

万有引力定数とは　2つの質量が引き合う力の強さを決める定数。

言葉の式

万有引力定数＝引き合う力 × （2つの間の距離）² ÷ 片方の質量 ÷ もう片方の質量

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
引き合う力	力	$N$
2つの間の距離	長さ	$m$
片方の質量	質量	$kg$
もう片方の質量	質量	$kg$

[万有引力定数]

= N \times m^{2} \div kg \div kg

= \frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}

= \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ が出てきました。

よくある誤解：万有引力定数に単位はない？
「定数」という名前ですが、単位があります。単位を忘れると、万有引力の法則

F = \frac{GMm}{r^{2}}

の右辺が力の単位 N になりません。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → 万有引力定数の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

万有引力定数 — 万有引力の法則　

F = \frac{G M m}{r^{2}}

万有引力の法則 $F = \frac{GMm}{r^{2}}$ を G について解くと $G = \frac{{Fr}^{2}}{Mm}$ 。N × m² ÷ kg² で $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ です。

[

G

]

= N \times m^{2} \div kg \div kg = \frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}} = \frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}

万有引力定数が出てくる公式

万有引力の法則： $F = \frac{G M m}{r^{2}}$
重力加速度と天体の質量： $g = \frac{G M}{r^{2}}$
脱出速度： $v = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}$

まとめ

万有引力定数とは、2つの質量が引き合う力の強さを決める定数。
言葉の式万有引力定数＝引き合う力 × （2つの間の距離）² ÷ 片方の質量 ÷ もう片方の質量を単位に置き換えると $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1万有引力定数は「引き合う力 × （2つの間の距離）² ÷ 片方の質量 ÷ もう片方の質量」で求められます。「引き合う力」[ $N$ ]、「2つの間の距離」[ $m$ ]、「片方の質量」[ $kg$ ]、「もう片方の質量」[ $kg$ ] のとき、万有引力定数の単位はどれ？

答えと解説

正解：B　 $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$

かける量（引き合う力・2つの間の距離）の単位が分子、割る量（片方の質量・もう片方の質量）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ 。

問2重力加速度と天体の質量 $g = \frac{G M}{r^{2}}$ を使います。g 「加速度」[ $\frac{m}{s^{2}}$ ]、M 「質量」[ $kg$ ]、r 「長さ」[ $m$ ] のとき、万有引力定数 G の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{\frac{m}{s^{2}} \cdot m^{2}}{kg}$

式を G について解くと $G = \frac{g r^{2}}{M}$ 。分子・分母にそれぞれの単位を入れると $\frac{\frac{m}{s^{2}} \cdot m^{2}}{kg}$ ＝ $\frac{m^{3}}{kg \cdot s^{2}}$ ＝ $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ 。

問3万有引力定数＝引き合う力 × （2つの間の距離）² ÷ 片方の質量 ÷ もう片方の質量です。「万有引力定数」[ $\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}$ ]、「2つの間の距離」[ $m$ ]、「片方の質量」[ $kg$ ]、「もう片方の質量」[ $kg$ ] のとき、「引き合う力」の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}} \cdot {kg}^{2}}{m^{2}}$

言葉の式を「引き合う力」について解き直すと「引き合う力＝万有引力定数 × 片方の質量 × もう片方の質量 ÷ （2つの間の距離）²」。単位を入れると $\frac{\frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}} \cdot {kg}^{2}}{m^{2}}$ ＝ $N$ 。

万有引力定数の単位 N·m2kg2 の意味｜基本単位で表すと m3kg·s2

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