電磁気難関大の二次試験で出てくる

磁場のエネルギー密度の単位 $\frac{J}{m^{3}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$

\frac{J}{m^{3}} = \frac{kg}{m \cdot s^{2}}

次元 [M L⁻¹ T⁻²]

検算のポイント

答えが磁場のエネルギー密度なら、右辺の単位は $\frac{J}{m^{3}}$ （＝ $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

磁場のエネルギー密度を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{J}{m^{3}}$ になるのか

磁場のエネルギー密度とは？言葉で意味をつかむ

磁場のエネルギー密度とは　体積 1 m³ あたりに磁場がたくわえているエネルギー。

言葉の式

磁場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
たくわえられたエネルギー	エネルギー・仕事・熱量	$J$
その空間の体積	体積	$m^{3}$

[磁場のエネルギー密度]

= J \div m^{3}

= \frac{J}{m^{3}}

= \frac{kg}{m \cdot s^{2}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{J}{m^{3}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → 電荷（電気量） → 磁束密度 → 磁場（磁界）の強さ → 透磁率 → 磁場のエネルギー密度の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力・電荷（電気量）の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

電荷（電気量） — 電荷と電流　

q = I t

電荷は「電流 × 流れた時間」。A に s をかけた A·s が C（クーロン）です。

[

q

]

= A \times s = A \cdot s = C

磁束密度 — ローレンツ力（磁場の部分）　

F = q v B

磁場の中を動く電荷が受ける力 F = qvB から $B = \frac{F}{qv}$ 。N を C と $\frac{m}{s}$ で割った組み合わせが T（テスラ）です。

[

B

]

= N \div C \div \frac{m}{s} = \frac{N \cdot s}{C \cdot m} = \frac{kg}{A \cdot s^{2}} = T

磁場（磁界）の強さ — 直線電流のつくる磁場　

H = \frac{I}{2 π r}

直線電流のまわりの磁場は $H = \frac{I}{2 πr}$ 。A を m で割って $\frac{A}{m}$ です。2π はただの数なので単位には関係ありません。

[

H

]

= A \div m = \frac{A}{m}

透磁率 — 磁束密度と磁場　

B = μ H

B = μH から $μ = \frac{B}{H}$ 。T を $\frac{A}{m}$ で割ったものを整理すると $\frac{H}{m}$ になります。

[

μ

]

= T \div \frac{A}{m} = \frac{T \cdot m}{A} = \frac{kg \cdot m}{A^{2} \cdot s^{2}} = \frac{H}{m}

磁場のエネルギー密度 — 磁場のエネルギー密度　

u = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}

磁場のエネルギー密度も「体積あたりのエネルギー」で $\frac{J}{m^{3}}$ 。式で書くと $u = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}$ 。

[

u

]

= T^{2} \div \frac{H}{m} = \frac{T^{2} \cdot m}{H} = \frac{kg}{m \cdot s^{2}} = \frac{J}{m^{3}}

よくある間違い：同じ単位でも別の量

次の量は磁場のエネルギー密度と次元 [M L⁻¹ T⁻²] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

圧力（ $Pa$ ）— 1 m² あたりに、面を垂直に押す力。
電場のエネルギー密度（ $\frac{J}{m^{3}}$ ）— 体積 1 m³ あたりに電場がたくわえているエネルギー。
ヤング率（ $Pa$ ）— 単位面積あたりの力（応力）を、のびの割合（ひずみ）で割ったもの。

磁場のエネルギー密度が出てくる公式

磁場のエネルギー密度： $u = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}$

まとめ

磁場のエネルギー密度とは、体積 1 m³ あたりに磁場がたくわえているエネルギー。
言葉の式磁場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積を単位に置き換えると $\frac{J}{m^{3}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1磁場のエネルギー密度は「たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積」で求められます。「たくわえられたエネルギー」[ $J$ ]、「その空間の体積」[ $m^{3}$ ] のとき、磁場のエネルギー密度の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{J}{m^{3}}$

かける量（たくわえられたエネルギー）の単位が分子、割る量（その空間の体積）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{J}{m^{3}}$ 。

問2磁場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積です。「磁場のエネルギー密度」[ $\frac{J}{m^{3}}$ ]、「その空間の体積」[ $m^{3}$ ] のとき、「たくわえられたエネルギー」の単位はどれ？

答えと解説

正解：C　 $\frac{J}{m^{3}} \cdot m^{3}$

言葉の式を「たくわえられたエネルギー」について解き直すと「たくわえられたエネルギー＝磁場のエネルギー密度 × その空間の体積」。単位を入れると $\frac{J}{m^{3}} \cdot m^{3}$ ＝ $J$ 。

問3磁場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積です。「磁場のエネルギー密度」[ $\frac{J}{m^{3}}$ ]、「たくわえられたエネルギー」[ $J$ ] のとき、「その空間の体積」の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{J}{\frac{J}{m^{3}}}$

言葉の式を「その空間の体積」について解き直すと「その空間の体積＝たくわえられたエネルギー ÷ 磁場のエネルギー密度」。単位を入れると $\frac{J}{\frac{J}{m^{3}}}$ ＝ $m^{3}$ 。

磁場のエネルギー密度の単位 Jm3 の意味｜基本単位で表すと kgm·s2

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基本単位までたどる

よくある間違い：同じ単位でも別の量

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