力学難関大の二次試験で出てくる

ヤング率の単位パスカル（Pa）の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$

Pa = \frac{kg}{m \cdot s^{2}}

次元 [M L⁻¹ T⁻²]

検算のポイント

答えがヤング率なら、右辺の単位は $Pa$ （＝ $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

このページでわかること

ヤング率を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ Pa になるのか
Pa のいろいろな書き方と、その根拠になる公式

ヤング率とは？言葉で意味をつかむ

ヤング率とは　単位面積あたりの力（応力）を、のびの割合（ひずみ）で割ったもの。

言葉の式

ヤング率＝引っ張る力 × もとの長さ ÷ 断面積 ÷ のび

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
引っ張る力	力	$N$
もとの長さ	長さ	$m$
断面積	面積	$m^{2}$
のび	長さ	$m$

[ヤング率]

= N \times m \div m^{2} \div m

= \frac{N}{m^{2}}

= \frac{kg}{m \cdot s^{2}}

= Pa

パスカル（Pa）は、この組み合わせ

\frac{N}{m^{2}}

に付けられた名前です。
1 m² の面を 1 N の力で垂直に押すときの圧力が 1 Pa。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。速度 → 加速度 → 力 → 面積 → ヤング率の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：速度・加速度・力・面積の単位（知っていれば飛ばしてOK）

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

面積 — 面積と長さ　

S = l^{2}

面積は長さ×長さなので m² です。

[

S

]

= m^{2}

ヤング率 — ヤング率（フックの法則の一般形）　

\frac{F}{S} = \frac{E ΔL}{L}

応力（ $\frac{N}{m^{2}}$ ）をひずみ（m ÷ m なので単位なし）で割るので、単位は圧力と同じ Pa です。

[

E

]

= N \times m \div m^{2} \div m = \frac{N}{m^{2}} = \frac{kg}{m \cdot s^{2}} = Pa

Pa の別の書き方

同じ量でも、使う公式によって単位の見え方が変わります。どれも基本単位にすると一致します。

書き方	根拠になる公式
$Pa = \frac{N}{m^{2}}$	ヤング率（フックの法則の一般形） $\frac{F}{S} = \frac{E ΔL}{L}$

よくある間違い：同じ単位でも別の量

次の量はヤング率と次元 [M L⁻¹ T⁻²] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

圧力（ $Pa$ ）— 1 m² あたりに、面を垂直に押す力。
電場のエネルギー密度（ $\frac{J}{m^{3}}$ ）— 体積 1 m³ あたりに電場がたくわえているエネルギー。
磁場のエネルギー密度（ $\frac{J}{m^{3}}$ ）— 体積 1 m³ あたりに磁場がたくわえているエネルギー。

ヤング率が出てくる公式

ヤング率（フックの法則の一般形）： $\frac{F}{S} = \frac{E ΔL}{L}$

まとめ

ヤング率とは、単位面積あたりの力（応力）を、のびの割合（ひずみ）で割ったもの。
言葉の式ヤング率＝引っ張る力 × もとの長さ ÷ 断面積 ÷ のびを単位に置き換えると $\frac{N}{m^{2}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1ヤング率は「引っ張る力 × もとの長さ ÷ 断面積 ÷ のび」で求められます。「引っ張る力」[ $N$ ]、「断面積」[ $m^{2}$ ]、「もとの長さ」[ $m$ ]、「のび」[ $m$ ] のとき、ヤング率の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{N \cdot m}{m^{2} \cdot m}$

かける量（引っ張る力・もとの長さ）の単位が分子、割る量（断面積・のび）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{N \cdot m}{m^{2} \cdot m}$ ＝ $\frac{N}{m^{2}}$ ＝ $Pa$ 。

問2ヤング率＝引っ張る力 × もとの長さ ÷ 断面積 ÷ のびです。「ヤング率」[ $Pa$ ]、「断面積」[ $m^{2}$ ]、「もとの長さ」[ $m$ ]、「のび」[ $m$ ] のとき、「引っ張る力」の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{Pa \cdot m^{2} \cdot m}{m}$

言葉の式を「引っ張る力」について解き直すと「引っ張る力＝ヤング率 × 断面積 × のび ÷ もとの長さ」。単位を入れると $\frac{Pa \cdot m^{2} \cdot m}{m}$ ＝ $Pa \cdot m^{2}$ ＝ $N$ 。

問3ヤング率＝引っ張る力 × もとの長さ ÷ 断面積 ÷ のびです。「ヤング率」[ $Pa$ ]、「引っ張る力」[ $N$ ]、「もとの長さ」[ $m$ ]、「のび」[ $m$ ] のとき、「断面積」の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{N \cdot m}{Pa \cdot m}$

言葉の式を「断面積」について解き直すと「断面積＝引っ張る力 × もとの長さ ÷ ヤング率 ÷ のび」。単位を入れると $\frac{N \cdot m}{Pa \cdot m}$ ＝ $\frac{N}{Pa}$ ＝ $m^{2}$ 。

ヤング率の単位 パスカル（Pa） の意味｜基本単位で表すと kgm·s2

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