電磁気難関大レベル定番問題

誘電体を半分だけ入れた平行板コンデンサーの電気容量を、単位と代入で検算する

答えが出たら、提出する前に2つの方法で確かめます。① 単位で式の形を確かめ、② 特別な値の代入で中身を確かめます。

① 答えの単位で確かめる

求めたいのは静電容量 ${\displaystyle \mathrm{C}}$。単位は ${\displaystyle \mathrm{F}}$（＝ ${\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}^2·{\mathrm{s}}^4}{\mathrm{kg}·{\mathrm{m}}^2}}$）。

使う量の単位：

• ${\displaystyle {\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}}$：誘電率 [${\displaystyle \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}}$]
• ${\displaystyle \mathrm{S}}$：面積 [${\displaystyle {\mathrm{m}}^2}$]
• ${\displaystyle (1+\mathrm{\epsilon r})}$：単位のない数
• ${\displaystyle \mathrm{\epsilon r}}$：単位のない数
• ${\displaystyle \mathrm{d}}$：長さ [${\displaystyle \mathrm{m}}$]

単位は ${\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}^2·{\mathrm{s}}^4}{\mathrm{kg}·{\mathrm{m}}^2}}$ で一致しました。ただし、これだけでは係数や符号、sin と cos の取り違えはわかりません。

② 特別な値を代入して確かめる

答えがすぐにわかる極端な場合を考え、式に代入して同じ結果になるかを確かめます。

どの場合も、物理的に正しい結果になりました。単位と代入の両方を通った答えは、かなり信頼できます。

単位は合うのに間違っている答えを、代入で見抜く

単位は合っているので、①だけでは見抜けません。そこで εr = 1（誘電体が真空と同じ） を代入すると、

εr = 1 を代入すると ${\displaystyle \mathrm{C}=\frac{{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}\mathrm{S}}{2\mathrm{d}}}$。何も入れていないのに容量が半分になってしまいます。誘電体のない残り半分を足し忘れています（2つのコンデンサーの並列）。

ほかの定番問題

→ 代入で検算する方法と、問題の一覧　→ 静電容量の単位の意味

よくある質問

誘電体を半分入れたコンデンサーの電気容量の答えは？

${\displaystyle \mathrm{C}=\frac{(1+\mathrm{\epsilon r}){\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}\mathrm{S}}{2\mathrm{d}}}$ です。

答えが合っているか、どうやって確かめる？

まず単位が F になるかを確かめ、次に εr = 1、εr を大きくする のような特別な値を代入して、物理的に当然の結果になるかを確かめます。

単位が合っていれば正しい？

いいえ。係数、符号、sin と cos の取り違えは単位では見つかりません。このページの「${\displaystyle \mathrm{C}=\frac{\mathrm{\epsilon r}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{0}}\mathrm{S}}{2\mathrm{d}}}$」のように、単位が合っていても間違っている答えは、代入で見抜きます。