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単タンブツ〜単位で物理を考える〜

電磁気難関大レベル

ソレノイドの自己インダクタンスで n を2乗し忘れる

問題

断面積 S、長さ l、単位長さあたりの巻き数 n の長いソレノイドの自己インダクタンス L を求めよ。真空の透磁率を μ₀ とする。

ありがちな答え

L = μ_{0} nSl

答えの単位で検算する

手順1　求めたい量の単位を確かめる

求めたいのはインダクタンス $L$ 。単位は $H$ （＝ $\frac{kg \cdot m^{2}}{A^{2} \cdot s^{2}}$ ）。

使える量の単位：

$μ_{0}$ ：透磁率 [ $\frac{H}{m}$ ]
$n$ ：単位長さあたりの巻き数 [ $\frac{1}{m}$ ]
$S$ ：面積 [ $m^{2}$ ]
$l$ ：長さ [ $m$ ]

手順2　答えの右辺に単位を当てはめる

数字の係数（2、 $\frac{1}{2}$ 、π など）は単位をもたないので無視します。

[

μ_{0} n S l

]

= \frac{H}{m} \cdot \frac{1}{m} \cdot m^{2} \cdot m = \frac{kg \cdot m^{3}}{A^{2} \cdot s^{2}}

　× 不一致

手順3　比べる

求めたい量は $\frac{kg \cdot m^{2}}{A^{2} \cdot s^{2}}$ なのに、答えの単位が合いません。この答えはどこかが間違っています。

どこで間違えやすいか

磁場 B = μ₀nI をつくるのに n が1回、その磁束を全巻き数 nl 回分数えるのにもう1回 n が出てくる。後の方を忘れた。

正しい答え

正しい答え

L = μ_{0} n^{2} Sl

[

μ_{0} n^{2} S l

]

= \frac{H}{m} \cdot {(\frac{1}{m})}^{2} \cdot m^{2} \cdot m = \frac{kg \cdot m^{2}}{A^{2} \cdot s^{2}}

　○ 一致

単位が $\frac{kg \cdot m^{2}}{A^{2} \cdot s^{2}}$ になり、求めたい量と一致しました。

単位が合っても、答えが正しいとは限りません（係数や sin・cos の間違いは見つけられません）。ただ、単位が合わなければ必ず間違いなので、見直す場所を絞り込めます。

コイル・電磁誘導のほかのミス

難関大ソレノイドの磁場で全体の巻き数 N を使う

B = μ_{0} NI

B = \frac{μ_{0} NI}{l}

誘導起電力で時間をかけてしまう

V = NΔΦΔt

V = \frac{NΔΦ}{Δt}

コイルのエネルギーで I を2乗し忘れる

U = \frac{1}{2} LI

U = \frac{1}{2} {LI}^{2}

難関大RL回路の時定数で R と L を逆にする

τ = \frac{R}{L}

τ = \frac{L}{R}

難関大電気振動の周期で √ を分母に入れる

T = \frac{2 π}{\sqrt{LC}}

T = 2 π \sqrt{LC}

動く導体棒の起電力で長さをかけ忘れる

V = vB

V = vBl

コイル・電磁誘導の検算のコツ

巻き数 N（単位なし）と単位長さあたりの巻き数 n（ $\frac{1}{m}$ ）、磁束 Φ（Wb）と磁束密度 B（T）を取り違えやすいテーマです。 $V = \frac{Wb}{s}$ 、 $H = \frac{Wb}{A}$ 、 $T = \frac{Wb}{m^{2}}$ の3つを覚えておくと、検算がぐっと速くなります。

→ コイル・電磁誘導のミスをまとめて見る

→ インダクタンスの単位の意味を調べる　 → 検算のやり方