電磁気難関大の二次試験で出てくる

電場のエネルギー密度の単位 $\frac{J}{m^{3}}$ の意味｜基本単位で表すと $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$

\frac{J}{m^{3}} = \frac{kg}{m \cdot s^{2}}

次元 [M L⁻¹ T⁻²]

検算のポイント

答えが電場のエネルギー密度なら、右辺の単位は $\frac{J}{m^{3}}$ （＝ $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ ）になっているはず。ならなければ、どこかが間違っています。

関連するミス例：電場のエネルギー密度で E を2乗し忘れる

このページでわかること

電場のエネルギー密度を言葉でどう言い表すか
その言葉を単位に置き換えると、なぜ $\frac{J}{m^{3}}$ になるのか

電場のエネルギー密度とは？言葉で意味をつかむ

電場のエネルギー密度とは　体積 1 m³ あたりに電場がたくわえているエネルギー。

言葉の式

電場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積

言葉の式に出てくるそれぞれの言葉は、すでに単位がわかっている量です。言葉を単位に置き換えてみましょう。

言葉	何の量か	単位
たくわえられたエネルギー	エネルギー・仕事・熱量	$J$
その空間の体積	体積	$m^{3}$

[電場のエネルギー密度]

= J \div m^{3}

= \frac{J}{m^{3}}

= \frac{kg}{m \cdot s^{2}}

言葉の通りに単位を並べるだけで、 $\frac{J}{m^{3}}$ が出てきました。

基本単位までたどる

言葉の式に出てきた量も、さらに言葉の式で分解できます。電荷（電気量） → 速度 → 加速度 → 力 → エネルギー・仕事・熱量 → 電圧・電位 → 静電容量 → 面積 → 誘電率 → 電場（電界） → 電場のエネルギー密度の順にたどると、すべて基本単位（m・kg・s・A・K・mol・cd）だけで表せます。

前提：電荷（電気量）・速度・加速度・力・エネルギー・仕事・熱量・面積の単位（知っていれば飛ばしてOK）

電荷（電気量） — 電荷と電流　

q = I t

電荷は「電流 × 流れた時間」。A に s をかけた A·s が C（クーロン）です。

[

q

]

= A \times s = A \cdot s = C

速度 — 速さの定義　

v = \frac{x}{t}

速さは「進んだ距離 ÷ かかった時間」。m を s で割って $\frac{m}{s}$ です。

[

v

]

= m \div s = \frac{m}{s}

加速度 — 加速度の定義　

a = \frac{Δv}{Δt}

加速度は「1秒あたりに速さがどれだけ変わるか」。速さの $\frac{m}{s}$ をさらに s で割るので $\frac{m}{s^{2}}$ になります。

[

a

]

= \frac{m}{s} \div s = \frac{m}{s^{2}}

力 — 運動方程式　

F = m a

運動方程式 F = ma で、質量 kg と加速度 $\frac{m}{s^{2}}$ をかけると $\frac{kg \cdot m}{s^{2}}$ 。この組み合わせに N（ニュートン）という名前がついています。

[

F

]

= \frac{kg \times m}{s^{2}} = \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = N

エネルギー・仕事・熱量 — 仕事の定義　

W = F x

仕事は「力 × 動かした距離」。N に m をかけた N·m に、J（ジュール）という名前がついています。

[

W

]

= N \times m = N \cdot m = \frac{kg \cdot m^{2}}{s^{2}} = J

面積 — 面積と長さ　

S = l^{2}

面積は長さ×長さなので m² です。

[

S

]

= m^{2}

電圧・電位 — 電圧と仕事　

W = q V

電圧は「1 C の電荷が2点の間を移動するときに得るエネルギー」。W = qV を V について解いて $\frac{J}{C}$ 。これが V（ボルト）です。

[

V

]

= J \div C = \frac{J}{C} = \frac{kg \cdot m^{2}}{A \cdot s^{3}} = V

静電容量 — コンデンサーの電気量　

q = C V

q = CV から $C = \frac{q}{V}$ 。「1 V あたりにためられる電荷」なので $\frac{C}{V}$ 、これが F（ファラド）です。

[

C

]

= C \div V = \frac{C}{V} = \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{2}} = F

誘電率 — 平行板コンデンサーの静電容量　

C = \frac{ε S}{d}

平行板コンデンサーの $C = \frac{εS}{d}$ から $ε = \frac{Cd}{S}$ 。F × m ÷ m² で $\frac{F}{m}$ になります。

[

ε

]

= F \times m \div m^{2} = \frac{F}{m} = \frac{A^{2} \cdot s^{4}}{kg \cdot m^{3}}

電場（電界） — 電場から受ける力　

F = q E

電場は「1 C あたりに働く力」。F = qE から $E = \frac{F}{q}$ で $\frac{N}{C}$ です。 $\frac{V}{m}$ と書いても同じ単位になります。

[

E

]

= N \div C = \frac{N}{C} = \frac{kg \cdot m}{A \cdot s^{3}} = \frac{V}{m}

電場のエネルギー密度 — 電場のエネルギー密度　

u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}

エネルギー密度は「体積あたりのエネルギー」。J を m³ で割って $\frac{J}{m^{3}}$ です。式で書くと $u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ 。 $\frac{J}{m^{3}}$ は圧力の Pa と同じ次元です。

[

u

]

= \frac{F}{m} \times {(\frac{V}{m})}^{2} = \frac{F \cdot V^{2}}{m^{3}} = \frac{kg}{m \cdot s^{2}} = \frac{J}{m^{3}}

よくある間違い：同じ単位でも別の量

次の量は電場のエネルギー密度と次元 [M L⁻¹ T⁻²] が同じです。単位が一致しても意味が違うことがあるので、検算のときは「何を表す量か」も確かめましょう。

圧力（ $Pa$ ）— 1 m² あたりに、面を垂直に押す力。
磁場のエネルギー密度（ $\frac{J}{m^{3}}$ ）— 体積 1 m³ あたりに磁場がたくわえているエネルギー。
ヤング率（ $Pa$ ）— 単位面積あたりの力（応力）を、のびの割合（ひずみ）で割ったもの。

電場のエネルギー密度が出てくる公式

電場のエネルギー密度： $u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$

まとめ

電場のエネルギー密度とは、体積 1 m³ あたりに電場がたくわえているエネルギー。
言葉の式電場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積を単位に置き換えると $\frac{J}{m^{3}}$ 。
基本単位だけで書くと $\frac{kg}{m \cdot s^{2}}$ 。

練習問題：分子と分母を見きわめる

問題文には単位が書いてあります。計算はしなくてかまいません。どの単位が分子（上）に、どの単位が分母（下）に来るかだけを考えて選んでください。

問1電場のエネルギー密度は「たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積」で求められます。「たくわえられたエネルギー」[ $J$ ]、「その空間の体積」[ $m^{3}$ ] のとき、電場のエネルギー密度の単位はどれ？

答えと解説

正解：A　 $\frac{J}{m^{3}}$

かける量（たくわえられたエネルギー）の単位が分子、割る量（その空間の体積）の単位が分母に来ます。まとめると $\frac{J}{m^{3}}$ 。

問2電場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積です。「電場のエネルギー密度」[ $\frac{J}{m^{3}}$ ]、「その空間の体積」[ $m^{3}$ ] のとき、「たくわえられたエネルギー」の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{J}{m^{3}} \cdot m^{3}$

言葉の式を「たくわえられたエネルギー」について解き直すと「たくわえられたエネルギー＝電場のエネルギー密度 × その空間の体積」。単位を入れると $\frac{J}{m^{3}} \cdot m^{3}$ ＝ $J$ 。

問3電場のエネルギー密度＝たくわえられたエネルギー ÷ その空間の体積です。「電場のエネルギー密度」[ $\frac{J}{m^{3}}$ ]、「たくわえられたエネルギー」[ $J$ ] のとき、「その空間の体積」の単位はどれ？

答えと解説

正解：D　 $\frac{J}{\frac{J}{m^{3}}}$

言葉の式を「その空間の体積」について解き直すと「その空間の体積＝たくわえられたエネルギー ÷ 電場のエネルギー密度」。単位を入れると $\frac{J}{\frac{J}{m^{3}}}$ ＝ $m^{3}$ 。

電場のエネルギー密度の単位 Jm3 の意味｜基本単位で表すと kgm·s2

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基本単位までたどる

よくある間違い：同じ単位でも別の量

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