本文へ移動

単タンブツ〜単位で物理を考える〜

難関大レベルの単位と検算

旧帝大などの難関大の二次試験では、電荷や電流の線密度・面密度、単位長さあたりの量、エネルギー密度など、教科書ではあまり見かけない単位が出てきます。見慣れない単位こそ、言葉の意味から組み立てれば怖くありません。

難関大の問題で単位がとくに役立つ場面
・「長さあたり」「面積あたり」の量を、全体の量と取り違えていないか（N と n、F と

\frac{F}{l}

など）
・点電荷・直線・平面で、距離 r の次数が変わる電場の式を混同していないか
・抵抗力の比例定数のように、「定数」にも単位があることを忘れていないか

力学

\frac{rad}{s^{2}}

1秒あたりに角速度がどれだけ変わるか。

慣性モーメント

kg \cdot m^{2}

回転のさせにくさ。質量に、回転軸からの距離の2乗をかけたもの。

\frac{kg \cdot m^{2}}{s}

回転の勢い。回転軸からの距離と運動量の積。

粘性係数（粘度）

Pa \cdot s

流体のねばりけ。流れの速さの差に逆らう力の大きさを決める。

線密度（弦・ひも）

\frac{kg}{m}

長さ 1 m あたりの質量。

\frac{kg}{m^{2}}

面積 1 m² あたりの質量。

抵抗力の比例定数（速さに比例）

\frac{N \cdot s}{m}

\frac{1 m}{s}

あたりの抵抗力。

抵抗力の比例定数（速さの2乗に比例）

\frac{N \cdot s^{2}}{m^{2}}

\frac{1 m^{2}}{s^{2}}

あたりの抵抗力。

Pa

単位面積あたりの力（応力）を、のびの割合（ひずみ）で割ったもの。

\frac{m^{3}}{s}

1秒あたりに流れる体積。

熱・気体

\frac{W}{m \cdot K}

物質の熱の伝えやすさ。厚さ 1 m・面積 1 m²・温度差 1 K のとき、1秒あたりに伝わる熱。

粒子の流束

\frac{1}{m^{2} \cdot s}

面積 1 m² を1秒間に通る粒子の数。

電磁気

電気伝導率

\frac{S}{m}

物質そのものの電流の流れやすさ。電場

\frac{1 V}{m}

あたりに流れる電流密度。

\frac{A}{m^{2}}

断面 1 m² あたりを流れる電流。

線電荷密度

\frac{C}{m}

長さ 1 m あたりの電荷。

面電荷密度

\frac{C}{m^{2}}

面積 1 m² あたりの電荷。

体積電荷密度

\frac{C}{m^{3}}

体積 1 m³ あたりの電荷。

面電流密度（電流の線密度）

\frac{A}{m}

電流の流れに垂直な幅 1 m あたりを流れる電流。

単位長さあたりの巻き数

\frac{1}{m}

長さ 1 m あたりの巻き数。

電気双極子モーメント

C \cdot m

電荷の大きさと、2つの電荷の間の距離の積。

磁気モーメント

m^{2} \cdot A

電流と、その電流が囲む面積の積。

電場のエネルギー密度

\frac{J}{m^{3}}

体積 1 m³ あたりに電場がたくわえているエネルギー。

磁場のエネルギー密度

\frac{J}{m^{3}}

体積 1 m³ あたりに磁場がたくわえているエネルギー。

\frac{C}{m^{2}}

誘電率と電場の強さの積。

\frac{m^{2}}{V \cdot s}

\frac{1 V}{m}

あたりに得られる平均の速さ。

ホール係数

\frac{m^{3}}{C}

キャリアの数密度と電荷の積の逆数。

単位長さあたりの抵抗

\frac{Ω}{m}

長さ 1 m あたりの抵抗。

単位長さあたりのインダクタンス

\frac{H}{m}

長さ 1 m あたりの自己インダクタンス。

単位長さあたりの静電容量

\frac{F}{m}

長さ 1 m あたりの静電容量。

単位長さあたりの力

\frac{N}{m}

長さ 1 m あたりに働く力。

難関大レベルのミス例（テーマ別）

コイル・電磁誘導

難関大ソレノイドの磁場で全体の巻き数 N を使う

B = μ_{0} NI

B = \frac{μ_{0} NI}{l}

難関大ソレノイドの自己インダクタンスで n を2乗し忘れる

L = μ_{0} nSl

L = μ_{0} n^{2} Sl

難関大RL回路の時定数で R と L を逆にする

τ = \frac{R}{L}

τ = \frac{L}{R}

難関大電気振動の周期で √ を分母に入れる

T = \frac{2 π}{\sqrt{LC}}

T = 2 π \sqrt{LC}

コンデンサー

単位では見抜けない難関大極板間の引力で

\frac{1}{2}

F = QE

F = \frac{1}{2} QE

電場・電位・ガウスの法則

難関大電場のエネルギー密度で E を2乗し忘れる

u = \frac{1}{2} ε_{0} E

u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}

難関大直線電荷の電場で r² で割る

E = \frac{λ}{2 {πε}_{0} r^{2}}

E = \frac{λ}{2 {πε}_{0} r}

難関大平面電荷の電場に距離を入れてしまう

E = \frac{σ}{4 {πε}_{0} r^{2}}

E = \frac{σ}{2 ε_{0}}

電流と磁場・ホール効果

難関大平行電流の力で「長さあたり」を忘れる

F = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{2 πd}

F = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2} l}{2 πd}

難関大ホール電圧で試料の厚さを忘れる

V_{H} = \frac{IB}{nq}

V_{H} = \frac{IB}{nqd}

電場・磁場中の荷電粒子

難関大磁場中の円運動の周期で逆数にする

T = \frac{2 πqB}{m}

T = \frac{2 πm}{qB}

円運動・剛体の回転

難関大回転の運動エネルギーで ω を2乗し忘れる

K = \frac{1}{2} Iω

K = \frac{1}{2} {Iω}^{2}

落下・放物運動・抵抗力

難関大終端速度で抵抗の種類を取り違える

v = \sqrt{\frac{mg}{k}}

v = \frac{mg}{k}

波・光・原子

難関大弦を伝わる波の速さで張力と線密度を逆にする

v = \sqrt{\frac{ρ}{T}}

v = \sqrt{\frac{T}{ρ}}

→ 電磁気の検算トレーニング　 → 力学の検算トレーニング